求逆序对问题的实现_problem c: 求逆序对-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wyuchen123/article/details/138419083

这是C++算法基础-基础算法专栏的第四篇文章，专栏详情请见此处。

引入

Q：什么是逆序对呢？

A：对于数组 $a$ ，如果 $i<j$ 且 $a_{i}>a_{j}$ ，通俗地说，就是大的数排在小的数前，则其称为一个逆序对。

在一个数组中，计算逆序对数量的问题，暴力枚举做法时间复杂度达到了 $O(n^{2})$ ，而我们可以通过归并排序的思路将此问题的时间复杂度降到 $O(nlog_{2}n)$ 。

下面我们就来讲求逆序对问题的实现。

定义

求逆序对问题一般使用高效的归并排序的思路完成。

过程

求逆序对问题是在归并排序的同时进行操作的。共分为三个过程：

将数列划分为两部分；
递归到两个子序列中分别进行排序；
合并两个子序列，在合并的同时进行计算逆序对的数量，将合并后的数组存入原数组中。

第一、二步和第三步中的合并过程与归并排序的步骤大致相同，详情可见归并排序的实现。

Q：为什么要说是大致相同？它们有什么不同点吗？

A：因为要计算逆序对数量，所以在代码实现中，我们的函数带有返回值，所以你可以在代码中看到，在递归到两个子序列中分别进行排序时，我们用变量 $res$ 计算了两个子序列的返回值的和。

第三步中，将一个数组被划分为两个部分时，对于一个逆序对 $\left ( x,y \right )$ ，一共有三种出现的可能性：

$x,y$ 都在左半部分
$x,y$ 都在右半部分
$x$ 在左半部分， $y$ 在右半部分

但在归并排序的递归过程中，其实第1、2种情况其实可以通过计算第3种情况来处理，也就是说，只用计算第3种情况即可。

Q：为什么只用计算第3种情况即可？

A：因为在之前的递归中，数组左右两半部分已经排序，已经不存在逆序对了，之前的逆序对已经被递归处理了。

在合并过程中，还是维护两个指针 $i$ 和 $j$ ，对于数组右半部分内的数 $q\left [ j \right ]$ ，如果可以在数组左半部分中找到最小的数 $q\left [ i \right ]$ 使得 $q\left [ i \right ]>q\left [ j \right ]$ ，则说明数组左半部分在 $q\left [ i \right ]$ 之后的数（也包括 $q\left [ i \right ]$ ）都可以与 $q\left [ j \right ]$ 组成逆序对，共有 $mid-i+1$ 个。

Q：为什么数组左半部分在 $q\left [ i \right ]$ 之后的数（也包括 $q\left [ i \right ]$ ）都可以与 $q\left [ j \right ]$ 组成逆序对？

A：因为数组之前已经在递归时排好序了， $q\left [ i \right ]$ 后的数都比 $q\left [ i \right ]$ 大，既然 $q\left [ i \right ]> q\left [ j \right ]$ ，那么比 $q\left [ i \right ]$ 大的数也要比 $q\left [ j \right ]$ 大。

这一操作可以在合并时，也就是在判断 $q\left [ i \right ]$ 和 $q\left [ j \right ]$ 大小并将其中一个数值存进临时数组中的过程中一起进行。

性质

时间复杂度

求逆序对问题的时间复杂度为 $O\left (nlog_{2}n \right )$ 。

代码

下面给出求逆序对问题的实现代码：

int merge_sort(int q[],int l,int r){
	if(l>=r)
		return 0;
	int mid=l+r>>1;
	int res=merge_sort(q,l,mid)+merge_sort(q,mid+1,r);
	int k=0,i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r){
		if(q[i]<=q[j])
			tmp[k++]=q[i++];
		else{
			res+=mid-i+1;
			tmp[k++]=q[j++];
		}
	}
	while(i<=mid)
		tmp[k++]=q[i++];
	while(j<=r)
		tmp[k++]=q[j++];
	for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++)
		q[i]=tmp[j];
	return res;
}

上一篇-归并排序的实现 C++算法基础专栏文章下一篇-整数二分查找的实现

每周六更新一篇文章，内容一般是自己总结的经验或是在其他网站上整理的优质内容

点个赞，关注一下呗~