BZOJ1041 圆上的整点 Solution

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本文探讨了在给定圆半径的情况下，如何高效计算圆周上存在的整点数量，通过引入本源勾股数组的概念，利用数学性质简化问题解决过程，并通过代码实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定r,求x^2+y^2=r^2的图象上存在多少个整点。

Sol:问题显然可以转化为x^2+y^2=r^2有多少个正整数解。我们考虑如何快速的解出这个方程。

引入本源勾股数组(x,y,z)（x,y,z为正整数）,满足x^2+y^2=z^2且gcd(x,y,z)=1.

我们能够证明一些性质，z为奇数，x,y一奇一偶，不妨设x为奇数,y为偶数，则有z-x为完全平方数的二倍，z-y为完全平方数。

有兴趣的可以自己证一下，当做结论记住也行。

那么我们枚举最大公约数，然后计算对应的本源勾股数组数目。

具体怎么计算看代码，枚举量很小。

最终算出的答案只是1/8个象限，于是*8+4得到最终答案。

Code:

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
inline int gcd(int x, int y) {
    return (!y) ? x : gcd(y, x % y);
}
inline int isint(long long x) {
    int tmp = (int)sqrt(x);
    if ((LL)tmp * tmp != x)
        return -1;
    return tmp;
}
 
inline int Calc(int z) {
    if ((z & 1) == 0)
        return 0;
    if (z < 5)
        return 0;
    int res = 0;
    int x, y;
    for(int i = 1; i * i < z; i += 2) {
        x = z - i * i;
        y = isint((LL)z * z - (LL)x * x);
        if (y == -1 || gcd(z, gcd(x, y)) != 1)
            continue;
        ++res;
    }
    return res;
}
 
int main() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
     
    if (!x) {
        puts("1");
        return 0;
    }
     
    long long res = 0;
    for(int i = 1; i * i <= x; ++i) {
        if (x % i == 0) {
            res += Calc(x / i);
            if (i != x / i)
                res += Calc(i);
        }
    }
     
    printf("%lld", (res << 3) + 4);
     
    return 0;
}