BZOJ1579 USACO 2009 Feb Gold 3.Revamping Trails Solution

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Shortest Path Algorithms

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本文探讨了一种利用图论优化最短路径计算的方法，通过将原始图复制并构建分层图，实现对特定边权进行修改后路径长度的快速计算。通过分层图的思想，该算法有效降低了计算复杂度，提高了路径查找效率。

题目大意：一个有N个点m条边的无向图，可以将路径上k条边的权值变为0,试求此时1-n的最短路径长度。

Sol:我们考虑分层图思想，将图复制k+1份，分别是0~k层，表示此时已经经过的“免费边”条数。

层与层之间的边权值为0且为单向由上层指向下层。

这样我们以0层的1点做单源最短路径。每一层的n点的距离最小值即为答案。

只不过这样的点数为O(K*N),边数为O（K*M）,比较慢。

我的做法是，对每一层使用heap-dijkstra算法由本层的原点更新这一层的最短路长度。然后显然可以用O(m)的复杂度推知下一层的初始最短路长度。

这种做法显然空间和时间上均存在较大优势。

Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
 
inline int getc() {
    static const int L = 1 << 15;
    static char buf[L], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, L, stdin);
        if (S == T)
            return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline int getint() {
    int c;
    while(!isdigit(c = getc()));
    int tmp = c - '0';
    while(isdigit(c = getc()))
        tmp = (tmp << 1) + (tmp << 3) + c - '0';
    return tmp;
}
 
typedef long long LL;
 
#define N 10010
#define M 50010
int n, m, k;
int head[N], next[M << 1], end[M << 1], len[M << 1];
LL dis[2][N];
bool inpath[N];
 
queue<int> q;
 
void addedge(int a, int b, int _len) {
    static int q = 1;
    len[q] = _len;
    end[q] = b;
    next[q] = head[a];
    head[a] = q++;
}
void make(int a, int b, int _len) {
    addedge(a, b, _len);
    addedge(b, a, _len);
}
 
struct Node {
    int lab, dis;
    Node(int _lab = 0, int _dis = 0):lab(_lab),dis(_dis){}
    bool operator < (const Node &B) const {
        return (dis < B.dis) || (dis == B.dis && lab < B.lab);
    }
};
struct Heap {
    Node a[N];
    int top, ch[N];
    Heap():top(0){}
    void up(int x) {
        for(; x != 1; x >>= 1) {
            if (a[x] < a[x >> 1]) {
                swap(ch[a[x].lab], ch[a[x >> 1].lab]);
                swap(a[x], a[x >> 1]);
            }
            else
                break;
        }
    }
    void down(int x) {
        int son;
        for(; x << 1 <= top; ) {
            son=(((x<<1)==top)||(a[x<<1]<a[(x<<1)|1]))?(x<<1):((x<<1)|1);
            if (a[son] < a[x]) {
                swap(ch[a[son].lab], ch[a[x].lab]);
                swap(a[son], a[x]);
                x = son;
            }
            else
                break;
        }
    }
    void insert(Node x) {
        a[++top] = x;
        ch[x.lab] = top;
        up(top);
    }
    Node Min() {
        return a[1];
    }
    void pop() {
        a[1] = a[top];
        ch[a[top--].lab] = 1;
        down(1);
    }
    void change(int x, int to) {
        int ins = ch[x];
        a[ins].dis = to;
        up(ins);
    }
}H;
 
void Dijkstra(bool d) {
    H.top = 0;
    int i, j;
    memset(inpath, 0, sizeof(inpath));
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        H.insert(Node(i, dis[d][i]));
    for(i = 1; i <= n; ++i) {
        Node tmp = H.Min();
        H.pop();
        inpath[tmp.lab] = 1;
        for(j = head[tmp.lab]; j; j = next[j]) {
            if (!inpath[end[j]] && dis[d][end[j]] > dis[d][tmp.lab] + len[j]) {
                dis[d][end[j]] = dis[d][tmp.lab] + len[j];
                H.change(end[j], dis[d][end[j]]);
            }
        }
    }
}
 
int main() {
    n = getint();
    m = getint();
    k = getint();
     
    int i, j;
    int a, b, x;
    for(i = 1; i <= m; ++i) {
        a = getint();
        b = getint();
        x = getint();
        make(a, b, x);
    }
     
    int now = 0, last = 1;
     
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[now][1] = 0;
    Dijkstra(now);
    LL ans = dis[now][n];
     
    while(k--) {
        now ^= 1;
        last ^= 1;
        for(i = 1; i <= n; ++i)
            dis[now][i] = dis[last][i];
        for(i = 1; i <= n; ++i)
            for(j = head[i]; j; j = next[j])
                dis[now][end[j]] = min(dis[now][end[j]], dis[last][i]);
        Dijkstra(now);
        if (ans == dis[now][n])
            break;
        ans = dis[now][n];
    }
     
    printf("%lld", ans);
     
    return 0;
}