[BZOJ1041][HAOI2008]圆上的整点

最新推荐文章于 2019-04-20 21:23:00 发布

Sakagami_Tomoyo

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分类专栏：数学文章标签：数论

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本文详细介绍了如何解决给定圆周上整点数量的问题，通过数学推导和算法实现，提供了一种高效计算方法。

[HAOI2008]圆上的整点

Description
求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。
Input
r
Output
整点个数
Sample Input
4
Sample Output
4
HINT
n<=2000 000 000

Solution

x 2 + y 2 = r 2

$x^2+y^2=r^2$

y 2 = (r - x) (r + x)

$y^2=(r-x)(r+x)$

令 d = g c d (r - x, r + x)

$令d=gcd(r-x,r+x)$

y 2 = d 2 * p * q

$y^2=d^2*p*q$

因 为 p, q 都 是 整 数 ， 且 (p, q) = 1

$因为p,q都是整数，且(p,q)=1$
所以

d 2 | y 2, p = u 2, q = v 2, (u, v) = 1

$d^2|y^2,p=u^2,q=v^2,(u,v)=1$
所以

r - x = d * u 2, r + x = d * v 2

$r-x=d*u^2,r+x=d*v^2$
解得

2 r = d * (u 2 + v 2)

$2r=d*(u^2+v^2)$

x = d * ( v 2 - u 2 ) 2, y = d u v

$x=\frac{d*(v^2-u^2)}{2},y=duv$

枚举 $d|2r$ ，枚举 $u<\sqrt{\frac{2r}{d}}$ ，计算 $v$ ，判断 $u,v$ 是否互质

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x){
    x=0; T f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    x*=f;
}

const int MaxN=100000;
ll ans=0,r,d[MaxN],tot;

inline ll sqr(ll x){return x*x;}
int main(){
    read(r); r<<=1;
    for(ll i=1;i*i<=r;i++){
        if(r%i==0) d[++tot]=i,d[++tot]=r/i;
        if(i*i==r) tot--;
    }
    for(ll i=1;i<=tot;i++)
        for(ll u=1;u*u<r/d[i];u++){
            ll v_2=r/d[i]-sqr(u),v=trunc(sqrt(v_2));
            if(sqr(1ll*trunc(sqrt(v_2)))==v_2)
                if(__gcd(v_2,u*u)==1) ans++;
        }
    printf("%lld\n",(ans-1)*2+4);
    return 0;
}