55、复分析领域的重要理论与成果

复分析领域的重要理论与成果

在复分析领域，有许多重要的理论和成果，它们推动了该领域的不断发展。下面将为大家详细介绍一些关键的概念和定理。

1. 魏尔斯特拉斯预备定理

设 (E) 是复域 (\mathbb{C}) 上的巴拿赫空间，经典情况是 (E) 为有限维，但这里不做此假设。在 (E) 的原点 (0) 处，全纯函数芽由一个级数定义，其中 (f_n: E \to \mathbb{C}) 是 (n) 次齐次连续多项式，且该级数在 (0) 的某个邻域内绝对收敛。

所有在 (E) 原点处的全纯函数芽构成一个环 (\mathcal{O}(E))。这个环是整环，并且是局部环（若 (f_0 \neq 0)，则其逆 (f^{-1}) 存在且属于 (\mathcal{O}(E))）。当 (E) 是无限维时，它不是诺特环，因为其极大理想（由满足 (f_0 = 0) 的 (f) 构成）不能由有限个元素生成。不过，Ramis 证明了一个重要结果：(\mathcal{O}(E)) 是唯一分解整环，即每个非零且不可逆的元素 (f) 都可以写成有限个不可约元素的乘积，这些不可约元素在相差可逆因子的意义下是唯一确定的。

为了精确表述魏尔斯特拉斯预备定理，考虑 (E) 的一个直和分解 (E = E’ \oplus E’‘)，其中 (E’‘) 是一维子空间，由 (E) 中一个非零元素 (a) 的所有标量倍数组成。投影 (E \to E’) 定义了一个环嵌入 (\mathcal{O}(E’) \to \mathcal{O}(E))，进而定义了环嵌入 (\mathcal{O}(E’)[X] \to \mathcal{O}(E))。

魏尔斯特拉斯预备定理