17、二阶偏微分方程的等几何分析与验证

二阶偏微分方程的等几何分析与验证

1. 引言

在工程分析领域，等几何分析（IGA）和有限元分析（FEA）是常用的方法。为了确保分析结果的准确性和可靠性，需要进行有效的验证和测试。本文将介绍补丁测试（Patch Tests）、数值热补丁测试以及相关的验证选项，帮助工程师更好地理解和应用这些方法。

2. 补丁测试

2.1 补丁测试的概念

补丁测试的概念最初基于工程判断，当分析域的子区域数量趋近于无穷大时，每个子区域的尺寸趋近于零，且每个子区域的解梯度应变为常数。因此，所有有效的分析公式都必须能够产生具有任意常数梯度的解。

2.2 补丁测试的要求

为了使分析公式收敛且正确实现，补丁测试需要满足以下三个要求：
1. 内部控制点值 ：内部控制点的值必须与假设函数 (P(x, y)) 在每个内部分析控制点处的计算值完全一致。
2. n 阶导数 ：计算得到的 n 阶导数必须与假设函数定义的常数值完全一致。
3. 形状独立性 ：这些结果必须与子区域的形状无关。

2.3 补丁测试的示例

假设弱积分形式包含关于 (x) 和 (y) 的一阶导数（如泊松方程），则假设解可以是具有三个任意系数的完全线性多项式，例如 (P(x, y) = 1 + 3x - 4y)，其在内部域的导数为 (\frac{\partial P(x, y)}{\partial x} = 3) 和 (\frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = -4