8、工程中微分方程近似求解方法解析

工程中微分方程近似求解方法解析

1. 结构力学与热传导中的特殊解情况

在结构力学里，分析梁的问题时，挠度平面的解 $v(x)$ 常常会出现二阶或三阶导数有跳跃的情况。若常微分方程（ODE）是齐次的，即 $f(x) \equiv 0$，通过反复积分能得到一个三次多项式的解析解。通常，单位长度的横向力输入为多项式，一般是二次多项式，这种常见的近似会得出一个五次多项式的解。所以，在等几何分析（IGA）研究中，使用三次或五次 B - 样条多项式作为梁长度方向的分析函数是合理的。为了允许二阶或三阶导数出现跳跃，需要在这些点引入所需数量的重复节点，同时至少保证一阶和二阶导数在这些节点处连续。

在热传导问题中，点热源常出现在二阶常微分方程的定义域内，这就要求在这些点处斜率不连续，并且在 IGA 节点向量中对应有重复的内部节点。

2. 偏微分方程（PDE）的边界条件

对于偶数阶偏微分方程 $\frac{\partial^{2m}u}{\partial x^{2m}} + \cdots + \frac{\partial u}{\partial x} + g(x)u + q(x) = 0$，其边界条件分为本质边界条件（EBCs）和非本质边界条件（NBCs）。本质边界条件为 $u, \frac{\partial u}{\partial n}, \cdots, \frac{\partial^{(m - 1)}u}{\partial n^{(m - 1)}}$；非本质边界条件为 $\frac{\partial^{(m)}u}{\partial n^{(m)}}, \frac{\partial^{(m + 1)}u}{\partial n^{(m + 1)}}, \cdots, \f