python：求解偏微分方程（PDEs）

1.偏微分方程基本知识
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式，偏微分方程是包含未知函数的偏导数（偏微分）的微分方程。

偏微分方程可以描述各种自然和工程现象，是构建科学、工程学和其他领域的数学模型主要手段。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，如：波传播，流动和扩散，振动，固体力学，电磁学和量子力学，等等。

偏微分方程主要有三类：椭圆方程，抛物方程和双曲方程。

双曲方程描述变量以一定速度沿某个方向传播，常用于描述振动与波动问题。

椭圆方程描述变量以一定深度沿所有方向传播，常用于描述静电场、引力场等稳态问题。

抛物方程描述变量沿下游传播，常用于描述热传导和扩散等瞬态问题。

偏微分方程的定解问题通常很难求出解析解，只能通过数值计算方法对偏微分方程的近似求解。常用偏微分方程数值解法有：有限差分方法、有限元方法、有限体方法、共轭梯度法，等等。

参阅：偏微分方程数值解法python代码实现

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在Python中求解偏微分方程（PDEs），你可以使用多种库和工具，包括但不限于SymPy、SciPy、NumPy、以及专门用于求解PDEs的库如FEniCS、PyMOR、Shooting Method（通过SciPy的solve_ivp函数实现）、以及专门的偏微分方程求解器如FEniCS（针对复杂几何和网格生成）、PySINDy（用于数据驱动的偏微分方程建模）等。

下面我将介绍几种常见的方法和库，以及如何使用它们来求解偏微分方程。

1. 使用SciPy和NumPy

对于简单的偏微分方程，比如二维的热传导方程，你可以使用scipy.ndimage或者numpy的插值和梯度计算功能来近似求解。

示例