【雷达信号处理】IQ调制理解

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前言

今天学习雷达信号处理时，发现一个已调信号的形式比较特别。
$$s(t)=a(t)cos[2\pi f_{0}t+\varphi (t)]$$
在网上找也没有找到详细推导，下面来探讨这个公式是怎么来的。下面的推导仅靠个人理解推导，欢迎大家指出错误。

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一、传统的调制

传统的调制就是直接将调制信号与载波进行相乘。设调制信号为$$f(t)=a(t)cos(\varphi (t))$$
其中$a(t)$为为信号包络，$\varphi (t)$为信号相位，有
$$\varphi (t)=\omega t+{\varphi }_n(t)$$
设载波信号$c(t)=cos(2\pi f_{c}t)$，那么已调信号$s(t)$为
$$s(t)=a(t)cos(\varphi (t))\bullet cos(2\pi f_{c}t)$$
即
s ( t ) = a ( t ) 2 { c o s ( 2 π f c t − ϕ ( t ) ) + c o s ( 2 π f c t + ϕ ( t ) ) } s(t) = {\frac{a(t)}{2}}{\{}cos(2{\pi}f_ct-{\phi}(t))+cos(2{\pi}f_ct+{\phi}(t)){\}} s(t)=2a(t)​{cos(2πfc​t−ϕ(t))+cos(2πfc​t+ϕ(t))}
我们应当只需要后半部分，即前面哪一项应当舍去。一般来说是通过滤波器来做的，当$\varphi (t)$的频率较大才能取得较好的效果，否则很难滤除掉。那么怎么得到$s(t)=a(t)cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t)]$这种形式呢，可以使用IQ调制

二、IQ调制

将$s(t)=a(t)cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t)]$展开，有
$$s(t)=a(t)cos(2\pi f_{c}t)\cdot cos\varphi (t)-a(t)sin(2\pi f_{0}t)\cdot sin\varphi (t)$$
而$cos$和$sin$是可以通过移相90度进行相互转换的。写为IQ两路，有
$$\begin{gathered} s_I(t)=a(t)cos\varphi (t) \\ {s}_Q(t)=a(t)sin\varphi (t) \end{gathered}$$
$Q$通道为$I$通道移相90度。有
$$s(t)=s_I(t)cos(2\pi f_{c}t)-s_Q(t)sin(2\pi f_{0}t)$$
上式完全可以理解成没有移相的调制信号$s_i(t)$与没有移相的载波$cos(2\pi f_{c}t)$进行相乘，然后与移相后的调制信号$s_Q(t)$与移相后的载波$sin(2\pi f_{c}t)$进行相乘后的结果进行相减。

经过这样调制之后，那么就得到了$s(t)=a(t)cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t)]$这种形式。

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三、IQ解调

解调也是分为IQ两路进行解调。首先是与没有移向的载波信号$cos(2\pi f_{c}t)$进行相乘，即$I$通道解调，设输出为$y_I(t)$，有
$$y_I(t)=s(t)cos(2\pi f_{c}t)=a(t)cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t)]cos(2\pi f_{c}t)$$
有
y I ( t ) = s ( t ) c o s ( 2 π f c t ) = a ( t ) c o s [ 2 π f c t + ϕ ( t ) ] c o s ( 2 π f c t ) y I ( t ) = a ( t ) 2 { c o s ( 4 π f c t + ϕ ( t ) ) + c o s ( ϕ ( t ) ) } y_I(t) = s(t)cos(2{\pi}f_ct)= a(t)cos[2{\pi}f_ct+{\phi}(t)]cos(2{\pi}f_ct)\\ y_I(t) = {\frac{a(t)}{2}}{\{}cos(4{\pi}f_ct+{\phi}(t))+cos({\phi}(t)){\}} yI​(t)=s(t)cos(2πfc​t)=a(t)cos[2πfc​t+ϕ(t)]cos(2πfc​t)yI​(t)=2a(t)​{cos(4πfc​t+ϕ(t))+cos(ϕ(t))}
经过低通滤波，再放大一倍后，有
$$y_I(t)=a(t)cos(\varphi (t))$$
同理，与移向后的载波信号$sin(2\pi f_{c}t)$进行相乘，即$Q$通道解调，设输出为$y_Q(t)$ y Q ( t ) = s ( t ) s i n ( 2 π f c t ) = a ( t ) c o s [ 2 π f c t + ϕ ( t ) ] s i n ( 2 π f c t ) y Q ( t ) = a ( t ) 2 { s i n ( 4 π f c t + ϕ ( t ) ) − s i n ( ϕ ( t ) ) } y_Q(t) = s(t)sin(2{\pi}f_ct)= a(t)cos[2{\pi}f_ct+{\phi}(t)]sin(2{\pi}f_ct)\\ y_Q(t) = {\frac{a(t)}{2}}{\{}sin(4{\pi}f_ct+{\phi}(t))-sin({\phi}(t)){\}} yQ​(t)=s(t)sin(2πfc​t)=a(t)cos[2πfc​t+ϕ(t)]sin(2πfc​t)yQ​(t)=2a(t)​{sin(4πfc​t+ϕ(t))−sin(ϕ(t))}
再低通滤波，放大两倍再反向后有
$$y_Q(t)=a(t)sin(\varphi (t))$$
IQ解调就完成了

四、IQ解调的优点

经过解调后，有
$$\begin{gathered} y_I(t)=a(t)cos(\varphi (t)) \\ {y}_Q(t)=a(t)sin(\varphi (t)) \end{gathered}$$
有包络$a(t)$为
$$a(t)=\sqrt{y_I(t{)}^2+y_Q(t{)}^2}$$
有相位$\varphi (t)$为
$$\varphi (t)=arctan(\frac{y_Q(t)}{y_I(t)})$$
可见，$IQ$解调能同时获得解调信号的包络和相位。

对于普通解调，设接收信号$s(t)=a(t)cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t)]$，那么解调后输出信号为$R(t)$,有
R ( t ) = s ( t ) c o s ( 2 π f c t ) = a ( t ) c o s [ 2 π f c t + ϕ ( t ) ] c o s ( 2 π f c t ) R ( t ) = a ( t ) 2 { c o s ( 4 π f c t + ϕ ( t ) ) + c o s ( ϕ ( t ) ) } R(t) = s(t)cos(2{\pi}f_ct)= a(t)cos[2{\pi}f_ct+{\phi}(t)]cos(2{\pi}f_ct)\\ R(t) = {\frac{a(t)}{2}}{\{}cos(4{\pi}f_ct+{\phi}(t))+cos({\phi}(t)){\}} R(t)=s(t)cos(2πfc​t)=a(t)cos[2πfc​t+ϕ(t)]cos(2πfc​t)R(t)=2a(t)​{cos(4πfc​t+ϕ(t))+cos(ϕ(t))}
经过低通滤波，再放大一倍后，有
$$y_I(t)=a(t)cos(\varphi (t))$$
经过包络检波，可以获得包络$a(t)$，然而相位就很难获得了。

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总结

看个图吧