4、向量空间基础：基、维度、内积与希尔伯特空间

向量空间基础：基、维度、内积与希尔伯特空间

1. 向量空间的构建与拓展

向量空间是线性代数中的核心概念，我们可以通过不同方式构建和拓展向量空间。

1.1 函数向量空间

• Func(N, C)与Func([a, b], C) ：Func(N, C) 是从自然数集 N 到复数集 C 的函数集合，它在特定运算下构成复向量空间。类似地，对于任意实数 a < b，Func([a, b], C) 即从区间 [a, b] 到 C 的函数集合，也是复向量空间。
• Func(N, R)与Func([a, b], R) ：这两个分别是从自然数集 N 和区间 [a, b] 到实数集 R 的函数集合，它们构成实向量空间。

1.2 笛卡尔积向量空间

给定两个复向量空间 (V, +, −, 0, ·) 和 (V′, +′, −′, 0′, ·′)，可以构建它们的笛卡尔积 (V × V′, +′′, −′′, 0′′, ·′′)，这也是一个复向量空间。其中向量是有序对 (V, V′)，运算按分量进行：
- ((V_1, V_1’) +’’ (V_2, V_2’) = (V_1 + V_2, V_1’ +’ V_2’))
- (-‘’(V, V’) = (-V, -‘V’))
- (0’’ = (0, 0’))
- (c ·’’ (V, V’) = (c · V, c ·’ V’))

1.3 相关练习

以下是一些相关的练习，用于巩固对向量空间的理解： <