2、深入探索复数：代数与几何视角

深入探索复数：代数与几何视角

1. 引言

复数在量子力学中处于核心地位，对于理解量子计算至关重要。我们将从代数和几何两个角度来介绍这一重要的数系。

2. 基本定义

引入复数最初是为了解决代数方程的求解问题。以多项式方程为例，很多情况下在熟悉的数集中找不到解，比如方程 (x^2 + 1 = 0)。因为任何实数的平方都是非负的，加上 1 后结果必然大于 0，所以在实数范围内无解。

常见的数集包括：
- 正整数集 (P = {1, 2, 3, …})
- 自然数集 (N = {0, 1, 2, 3, …})
- 整数集 (Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …})
- 有理数集 (Q = {\frac{m}{n} | m \in Z, n \in P})
- 实数集 (R = Q \cup {…, \sqrt{2}, …, e, …, \pi, …, e^{\pi} …})

在这些数集中都找不到方程 (x^2 + 1 = 0) 的解。于是，我们大胆假设存在一个解 (i)，使得 (i^2 = -1) ，即 (i = \sqrt{-1})。

基于 (i) ，我们得到了新的数：
- 虚数：实数与 (i) 的乘积，如 (2i) 。
- 复数：实数与虚数的和，如 (3 + 5i) 。

定义 ：复数是形如 (c = a + bi) 的表达式，其中 (a) 和 (b) 是实数，(a) 称为实部，(b) 称为虚部，所有复数的集合记为 (C)。

复数可以进行加法和乘法