18、并行数值积分算法详解

并行数值积分算法详解

1. 基于格型求积公式的近似积分方法

1.1 数学原理概述

在数值积分领域，基于格型求积公式的近似积分方法是一种重要的手段。该方法围绕误差泛函的计算、对输入参数光滑性的处理以及渐近最优性等方面展开。

首先，对于函数 (l_j(y))，它在格点 ({h_k}) 上取值，且具有 ((W_m^p)^ ) - 范数为 (O(h^m)) 的阶，其中 (\forall m < M)。通过变量变换和重新计算节点值，可使泛函 (l_{j,N}) 保持这一阶数。最终得到误差泛函 (l_{\Omega}^N)，其 ((W_m^p)^ ) - 范数对于所有 (p \in (1, \infty)) 和 (m \in (\frac{n}{p}, M)) 都为 (O(h^m))。

1.2 有界边界层性质（BBL - property）

构造的泛函具有有界边界层性质，即其所有系数在 (h) 上是一致有界的，并且对于距离边界超过 (Lh)（(L) 为某一常数）的节点，系数等于 1。对于这样的求积公式，证明了阶数和渐近最优性的等价性。

定理表明：具有 BBL 性质的求积公式在集合 ({W_m^p(\Omega) | m \in (m_1, m_2), p \in (p_1, p_2)}) 中的每个空间上是渐近最优的，当且仅当它在每个空间上按阶数是最优的，其中 (\frac{n}{p} < m_1 < m_2 < M)，(1 < p_1 < p_2 < \infty)。

此外，对于根据该算法构造的 BBL 公式，还建立了在具有范数 (|f| <