21、数值方法积分与差分方程详解

数值方法积分与差分方程详解

1. 数值积分方法概述

数值积分在工程、科学计算等领域有着广泛的应用。常见的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则，它们都是牛顿 - 柯特斯法则的特殊情况，牛顿 - 柯特斯法则使用更高阶的函数进行数值积分。

2. 梯形法则与能量计算示例

在某些情况下，如功率随时间均匀变化时，可使用梯形法则计算能量。例如，给定功率随时间的变化曲线，如果功率均匀，能量应为常数。以下是使用 MATLAB 计算并绘制能量的代码：

energy=trapz(t,p), plot(t,energy, '+'); grid; title('Energy vs Time');
xlabel('seconds'); ylabel('joules')

执行上述代码后，得到能量值为 0.1013 焦耳。

3. 辛普森法则

辛普森法则是另一种重要的数值积分方法。假设曲线由抛物线 (y = \alpha x^{2}+\beta x+\gamma) 表示，对于区间 (-h\leq x\leq h)，曲线下的面积为：
[
\begin{align }
Area&=\int_{-h}^{h}(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma)dx\
&=\left[\frac{\alpha x^{3}}{3}+\frac{\beta x^{2}}{2}+\gamma x\right]_{-h}^{h}\
&=\frac{2\alpha h^{3}}{