1. 简介
序列二次规划 (SQP) 是求解非线性规划 (NLP) 问题最经典的数值优化算法之一
在轨迹优化中，将连续最优控制问题离散化到非线性规划问题后求解，之前一篇博文介绍的IPOPT求解器是基于内点法的技术路线；而另一条重要的技术路线是SQP算法，代表性求解器为SNOPT
SQP算法的核心思想是：
在每次迭代中线性化约束、二次近似目标函数，构造一个二次规划子问题来近似原问题，通过迭代求解逐步逼近最优解
2. 快速入门
2.1 核心推导
考虑一般的非线性规划问题：
min x f ( x ) s . t . g ( x ) = 0 h ( x ) ⩽ 0 \begin{array}{l} \underset{x}{\min}\,\,f\left( x \right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\,\,\,\,g\left( x \right) =0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,h\left( x \right) \leqslant 0\\\end{array} xminf(x)s.t.g(x)=0h(x)⩽0
在第k次迭代点 x k x_k xk处，对目标函数进行二阶近似，对约束进行一阶近似：
f ( x ) ≈ f ( x k ) + ∇ f ( x k ) T ( x − x k ) + 1 2 ( x − x k ) T B k ( x − x k ) g ( x ) ≈ g ( x k ) + ∇ g ( x k ) T ( x − x k ) h ( x ) ≈ h ( x k ) + ∇ h ( x k ) T ( x − x k ) \begin{array}{l} f\left( x \right) \approx f\left( x_k \right) +\nabla f\left( x_k \right) ^T\left( x-x_k \right) +\frac{1}{2}\left( x-x_k \right) ^TB_k\left( x-x_k \right)\\ g\left( x \right) \approx g\left( x_k \right) +\nabla g\left( x_k \right) ^T\left( x-x_k \right)\\ h\left( x \right) \approx h\left( x_k \right) +\nabla h\left( x_k \right) ^T\left( x-x_k \right)\\ \end{array} f(x)≈f(xk)+∇f(xk)T(x−xk)+2
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