机器学习——朴素贝叶斯（Naive Bayes）

一、 理论

1.1 贝叶斯定理

要了解朴素贝叶斯算法，首先就要了解贝叶斯定理。贝叶斯定理是英国数学家托马斯·贝叶斯在18世纪提出的。他是一位神职人员，但同时也是个热衷于研究概率和统计理论的数学家。他提出的这个定理，最初是为了用数学的方法来探讨上帝的存在，但没想到后来它在科学研究和实际应用中发挥了巨大的作用。下面介绍以下贝叶斯定理的数学原理和推导公式。

1.1.1 数学定义

贝叶斯定理的数学定义可以用这个公式来表示：

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

其中：

1. $P(A|B)$ 表示在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的概率；
2. $P(B|A)$ 表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率；
3. $P(A)$ 和 $P(B)$ 分别表示事件$A$和事件$B$单独发生的概率。

这个定理的核心思想就是，当我们知道了某个条件事件$B$已经发生，我们可以根据这个条件来更新事件$A$发生的概率。也就是说，我们可以利用已知的信息（条件概率）来推测未知的概率。

1.1.2 推导过程

推导之前先了解一些数学概念。

条件概率：

$P(A|B)$ 是指在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的概率。
$P(B|A)$ 是指在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

乘法法则：

两个事件A和B同时发生的概率$P(A\cap B)$ 可以由 $P(A)$ 和 $P(B|A)$得出，即
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$
同样地，$P(A\cap B)$ 也可以由 $P(B)$ 和 $P(A|B)$ 得出，即
$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$

接下来就可以进行贝叶斯定理的推导了。很简单，通过乘法公式易得如下式子：

$$P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$$

移项易得贝叶斯定理公式：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

1.2 朴素贝叶斯算法

介绍完贝叶斯定理，就可以更好地理解朴素贝叶斯算法了。朴素贝叶斯算法在20世纪50年代被正式提出，并在60年代被应用到文本检索领域。朴素贝叶斯是一种基于贝叶斯定理和特征独立性假设的分类算法，具有坚实的数学基础和广泛的应用场景。在实际应用中，它表现出了很高的分类效率和准确性，成为了一种非常受欢迎的机器学习算法。下面介绍以下朴素贝叶斯算法地理论原理、推导过程和算法流程。

1.2.1 理论原理

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。算法的基本思想是：对于给定的待分类项，求解在此项出现的条件下各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类别。

贝叶斯定理:

首先，我们来看贝叶斯定理。这个定理上面已经阐述了很清楚了，它是用来描述两个条件概率之间的关系的，它告诉我们怎样根据新的证据来更新某个假设的概率。在朴素贝叶斯分类器中，这个“新的证据"通常就是我们要分类的对象的特征，而“假设”则是这个对象属于某个类别的概率。

特征条件独立假设：

特征独立假设是朴素贝叶斯分类器中的一个关键假设。这个假设认为给定目标值时，各个特征之间相互独立。换句话说，一个特征的出现概率与其他特征无关，只与类别有关。

数学上，如果$X_1,X_2,...,X_n$ 是样本的$n$个特征，$Y$是目标变量（即样本所属的类别），那么特征独立假设可以表示为：

$$P(X_1,X_2,...,X_n|Y)=P(X_1|Y)\cdot P(X_2$$