机器学习——逻辑回归（Logistic Regression）

一、理论

逻辑回归（Logistic Regression) 是一种广义的线性回归分析模型，它利用逻辑函数（通常是Sigmoid函数）将线性回归的输出值映射到0和1之间，从而用于处理二分类问题。

1.1 线性回归

1.1.1 线性回归的原理

线性回归是一种利用数理统计中回归分析的方法，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系。其原理是假设因变量$Y$与自变量$X$之间存在线性关系，即$Y$可以表示为$X$的线性组合加上一个常数项。

1.1.2 线性回归的数学推导

1.1.2.1 模型设定

线性回归模型可以表示为：

$$Y=w_1{X}_1+w_2{X}_2+...+w_n{X}_n+b$$

其中:

1. $Y$是因变量；
2. $X_1,X_2,...,X_n$是自变量
3. $w_1,w_2,...,w_n$是回归系数
4. $b$是截距项

为了简化表示，我们可以引入一个额外的特征$X_0=1$，并将截距项$b$视为$w_0$，这样模型就可以表示为：

$$Y=w_0{X}_0+w_1{X}_1+w_2{X}_2+...+w_n{X}_n$$

进一步地，我们可以将上式写为矩阵形式：

$$Y={\mathbf{w}}^T\mathbf{X}$$

其中:

1. $\mathbf{w}=[w_0,w_1,w_2,...,w_n{]}^T$
2. $\mathbf{X}=[X_0,X_1,X_2,...,X_n{]}^T$

1.1.2.2 求解参数$\mathbf{w}$

从上述公式可以看出，线性回归模型的参数$\mathbf{w}$是我们要求解的，为了实现这个目标，我们进行以下操作。

1.1.2.2.1 损失函数

在线性回归中，我们通常使用均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数，以衡量模型预测值与实际值之间的差异。损失函数的数学表达式为：

$$J(\mathbf{w})=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}{)}^2$$

其中:

1. $m$是样本数量
2. $y^{(i)}$是第$i$个样本的实际值
3. ${\mathbf{x}}^{(i)}$是第$i$个样本的特征向量。

1.1.2.2.2 优化算法

很显然，为了使模型能够契合某一个数据集，我们要使损失函数的值越小越好，而为了找到使损失函数最小的参数$\mathbf{w}$，我们通常采用梯度下降法（Gradient Descent） 进行求解。此外还有很多其它的优化算法，这边再介绍一个牛顿法（Newton’s Method）。

梯度下降法（Gradient Descent）

首先，我们需要计算损失函数 $J(\mathbf{w})$关于参数$\mathbf{w}$的梯度。

对于参数 $\mathbf{w}$的第 $j$个分量 $w_j$，其梯度为：

$$\frac{\partial J(\mathbf{w})}{\partial w_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\mathbf{w}}$$