机器学习——主成分分析PCA（Principal Component Analysis）

一、理论

1.1 什么是PCA？

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种无监督学习的降维方法。它基于一个简单的前提：一个高维数据集可能包含许多冗余或相关的特征，而这些特征可能并不都包含有价值的信息。PCA的目标是通过线性变换找到数据的主要成分，即数据的最大方差方向，并将数据投影到这些主要成分上，从而在保持数据的主要特性的同时降低数据的维度。

1.2 PCA的理论推导

1.2.1 从方差最大化角度理解PCA

设原始数据集为$X\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，其中$m$是样本数，$n$是特征数（维度）。PCA的目标是将数据投影到一个新的低维空间，使得投影后的数据方差最大化。

假设投影方向为$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$，且为单位向量（$||\mathbf{w}||=1$）。投影后的数据为$Y=X\mathbf{w}$。为了最大化投影后的方差，我们需要解决以下优化问题：

$$\underset{\mathbf{w}}{\max }\text{Var}(Y)=\underset{\mathbf{w}}{\max }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(Y_i-\bar{Y}{)}^2=\underset{\mathbf{w}}{\max }\frac{1}{m}||X\mathbf{w}-\bar{Y}1|{|}^2$$

其中，$\bar{Y}$是投影后数据的均值，$1$是长度为$m$的全1向量。由于我们已经假设数据是中心化的（即每个特征的均值为0），所以$\bar{Y}=0$，优化问题简化为：

max ⁡ w Var ( Y ) = max ⁡ w 1 m ∣ ∣ X w ∣ ∣ 2 = max ⁡ w w T ( 1 m X T X ) w s.t. ∣ ∣ w ∣ ∣ = 1 \max_{\mathbf{w}} \quad \text{Var}(Y) = \max_{\mathbf{w}} \quad \frac{1}{m} ||X\mathbf{w}||^2 = \max_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^T \left( \frac{1}{m} X^T X \right) \mathbf{w} \quad \text{s.t.} \quad ||\mathbf{w}|| = 1