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1.欧拉通路
经过所有边一次且仅一次。
有向图：允许一个结点入度比出度大1，另一个结点出度比入度大1
无向图：仅有零个或两个奇度数的结点
2.欧拉回路
经过所有边一次且仅一次且回到出发点。
有向图：所有结点入度=出度
无向图：所有结点的度数均为偶数
例如下图，有两个奇度数的结点，所以是欧拉通路，但不是欧拉回路。
补充：一笔画问题
所谓一笔画是指笔不离纸，不重复的画出图形。直接判断图是不是欧拉通路或欧拉回路即可。
3.哈密顿通路/哈密顿回路
哈密顿通路：经过所有结点一次且仅一次。
哈密顿回路：任意一点，不重复地经过其他点，再回到起点。
判断是否是哈密顿图：
必要条件：
设去掉的结点数为|V1|，由于去掉结点而产生的连通分支数为P(G-V1)。如果产生的连通分支数大于去掉的结点数：P(G-V1)>|V1|，则G不是哈密顿图。
所以有割点的图一定不是哈密顿图。因为删除割点之后，这个图的连通分支数至少为2
例如下图，删除v1，v3，产生的连通分支{v2}，{v6，v7}，{v5}，{v4}，删除2个结点，产生4个连通分支，所以该图不是哈密顿图。
注：删除结点时，应该选择度数较高的结点，因为度数越高，对整个图连通性影响就越大。产生连通分支的可能就越大。
例题：
删除度数尽量高的结点，即a,b,c,d,e，则得到右边的图，他的连通分支树为7>5，所以该图不是哈密顿图。
充分条件：
两个不相邻的结点度数之和>=n-1，那么就存在哈密顿通路。
如果度为1的结点个数>2，那么一定不是哈密顿通路，因为哈密顿通路只能有一个起点和一个终点。但是不大于2，也不能判断他就是哈密顿通路。
两个不相邻的结点度数之和>=n，那么就存在哈密顿回路。
G中任意结点的度数>=n/2，则G是哈密顿图。
因为是充分条件，所以满足了这个条件就一定是哈密顿图，但是不满足这个条件可能也是哈密顿图。如下图所示，任意两个结点的度数之和=4，小于结点数6，但是它明显是个哈密顿回路。
例题：
1.
2.
3.
其他方法：
方法一：
,
方法二：
如下图，若图中存在哈密顿回路，则该回路组成的图中任何结点的度数均为 2（经过每个结点一次且仅一次）。因而结点 1、2、3、4、5 所关联的边均在回路中，于是在结点 a、b、c、d、e处均应将不与 1、2、3、4、5 关联的边删除，而要删除与结点 a、b、c、d、e关联的其它边，得到右图，它不是连通图，因而图中不存在哈密顿回路。
用同样的方法，看下面的图：
该图中有16个结点，27条边，若图中存在哈密顿回路，在回路上需要且仅需要16条边，但图中提供的可供选择的边数不足16条。在结点g、i、k处各只能选择两条边，于是各有三条边不能被选择；在结点b、d、f处也至少各有一条边不能被选择；在结点 p 处也至少有一条边不能被选择，这样一来，可供选择的边数小于等于27-(3x3+3+1)=14条，故该图中不存在哈密顿回路，因而它不是哈密顿图。
例题：
4.偶图
之前写过一篇非常详细，包括用 t 条件和相异性条件判断是否匹配的问题。
5.平面图
如果能够把一个无向图 G 的所有结点和边画在平面上，使得任何两边都不会在非结点处交叉，则称 G 为平面图，否则称 G 为非平面图。
非平面图：K5和
（1）平面图中所有面的次数之和等于边数的二倍
任何一条边，或者是两个面边界的公共边，或者是在一个面中作为边界被重复计算两次，所以平面图所有面的次数之和等于其边数的二倍。
（2）欧拉公式
例题：这里的定理就平面图中所有面的次数之和等于边数的二倍
（3）欧拉公式的推理：
① m<=3n-6：不满足这个性质则一定是非平面图，但是满足这个性质未必是平面图。
例题：
② ，这里的k表示每个面的次数至少为k（k>=3）。同样，不满足这个性质则一定是非平面图，但是满足这个性质未必是平面图。
其实这个结论就是下面两道例题得出结论的特殊化，即连通分支数（p）为1：
也可用这个推论做题：
（4）库拉托夫斯基定理
① 一个图是平面图的充分必要条件是它的任何子图都不与 K5或 K3.3同胚。
同胚：
② 一个图是平面图的充分必要条件是它的任何子图都不能收缩为 K5或 K3,3。
收缩：
可以在原图的基础上直接收缩：
下图证明了彼德森图是非平面图。
同理：
也可以取图的子图，在子图的基础上收缩：
例题：判断下图是否是平面图
1.
2.
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