哈密尔顿回路

转载自:http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3233992.html

哈密尔顿回路总结

 

一、引子

 

1959 年 William Rowan Hamilton 发明了一个小玩具,这个玩具是一个木刻的正十二面体,每面系正五角形,三面交于一角,共 20 个角,没每个角上标有世界上一个重要城市。他提出一个问题:要求沿着正十二面体的边寻找一条路,通过 20 个城市,而每个城市只通过一次,最后返回原地。Hamilton 将此问题称为周游世界问题,并且坐了肯定的回答。

上面提到的问题就是经典的 Hamilton 回路问题

当然,还有另一个著名的回路问题——欧拉回路问题,不同于 Hamilton 回路问题,欧拉问题已经得到了圆满解决

 

二、一些定义

 

设无向图 G=(V, E),其中 V 是点集,E 是边集, n=|V| 表示图中点的数量,m=|E| 表示图中边的数量

 

Hamilton 通路:经过图 G 中每个节点一次且仅一次的通路称为 Hamilton 通路

  特点:包含图 G 中所有顶点,通路上各顶点不重复

Hamilton 回路:经过图 G 中每个节点一次且仅一次的回路称为 Hamilton 回路

  特点:包含图 G 中所有顶点,回路中,除了起点和终点相同之外,回路上各点不重复

Hamilton 图:存在 Hamilton 回路的图称为 Hamilton 图

Hamilton 通路问题转化为 Hamilton 回路问题

  一个可行的做法是枚举通路的起点和终点,添加一条边,转化为对应 Hamilton 回路问题

 

三、Hamilton 图的判定

 

众所周知,现在没有判断图中是否存在 Hamilton 通路、Hamilton 回路的简单判定定理,我们只能对节点较少的图凭经验去判定,下面给出的是一些必要条件和充分条件以及相应的简单证明

 

PS:这些证明当然不是我写的啦,都是抄的书上的,不过我都理解了

 

1、必要条件:

定理1:设无向图 G=(V, E) 是 Hamilton 图,V1 是 V 的任意非空子集,则:p(G-V1)≤|V1|其中:p(G-V1) 表示从 G 中删除 V1 后得到的图的联通分支的数量)

证明:

考虑 G 的一条 Hamilton 回路 C,显然 C 是 G 的生成子图,从而 C-V1 也是 G-V1 的生成子图,且有 p(G-V1)p(C-V1),因此只需要证明 p(C-V1)|V1|即可。

下面分两种情况讨论:

  (1)、V1 中节点在 C 中均相邻,删除 C 上 V1 中各点及关联的边后,C-V1 仍是联通的,但已非回路,因此 p(C-V1)=1|V1|

  (2)、V1 中节点在 C 中存在 r(2r|V1|) 个互不相邻,删除 C 上 V1 中各点及关联的边后,将 C 分为互不相连的 r 段,即 p(C-V1)=r|V1|

一般情况下,V1 中的点在 C 中既有相邻的也有不相邻的,因此总有 p(C-V1)|V1|

又因为 C 是 G 的生成子图,从而 C-V1 也是 G-V1 的生成子图,故有:p(G-V1)p(C-V1)|V1|

 

推论1.1:设无向图 G=(V, E) 中存在 Hamilton 通路,则对 V 的任意非空子集 V1,都有 p(G-V1)|V1|+1

 

上面的定理和推论在用来判断一个图是否存在 Hamilton 回路(通路)时非常有用

 

2、充分条件:

定理2:设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图(|V|=n),如果对于任意的两个不相邻的节点 u, v∈V,均有 deg(u)+deg(v)n-1,则 G 中一定存在 Hamilton 通路

证明:

首先证明满足上述条件的图是一个联通图,然后用“延长通路法”找出一条 Hamilton 通路

(1)、反证法证明满足上述条件的图是一个连通图:

假设 G 有两个或者更多联通分支。设一个联通分支有 n1 个节点,另一个联通分支有 n2 个节点。这两个联通分支中分别有节点 v1 和节点 v2。显然:deg(v1)n1-1,deg(v2)n2-1。从而:deg(v1)+deg(v2)n1+n2-2n-2,与已知条件"对于任意的两个不相邻的节点 u, v∈V,均有 deg(u)+deg(v)n-1"矛盾,故 G 是联通的

 

(2)、证明 G 中存在 Hamilton 通路

设 p=v1v2...vk 为 G 中用“延长通路法”得到的“极大基本通路”,即 p 中的始点 v1 和终点 vk 不与 p 外的节点相邻,显然 kn

  (Ⅰ)、若 k=n,则 p 为 G 中经过所有节点的通路,即为 Hamilton 通路

  (Ⅱ)、若 k<n,说明 G 中还存在 p 外的节点,但此时可以证明存在仅经过 p 上所有节点的基本回路,证明如下:

    (a)、若在 p 上 v1 与 vk 相邻,则 v1v2...vkv1 为仅经过 p 上所有节点的基本回路

    (b)、若在 p 上 v1 不与 vk 相邻,假设 v1 在 p 上与 vi=v2,vi2,vi3,...,vij 相邻(j 必然大于等于 2,否则 deg(v1)+deg(vk)1+k-2<n-1),此时,vk 必定与 vi2,vi3,...,vij 中相邻的节点 vi2-1,vi3-1,...,vij-1 至少一个相邻(否则 deg(v1)+deg(vk)j+k-2-(j-1)=k-1<n-1)。设 vk 与 vir-1(2rj) 相邻,如下图所示:在 p 中添加边 (v1, vir),(vk, vir-1),删除边 (vir-1, vir) 得到基本回路:C=v1v2...vir-1vkvk-1...virv1

 

        

  (Ⅲ)、证明存在比 p 更长的通路

      因为 k<n,所以 V 中还有一些节点不在 C 中,由 G 的联通性可知,存在 C 外的节点与 C 上的节点相邻,不妨设 vk+1∈V-V(C),且与 C 上的节点 vt 相邻,在 C 中删除边 (vt-1, vt),添加边 (vt, vk+1) 从而得到通路 p'=vt-1...v1vir...vkvir-1...vtvk+1,如下图所示,显然,p‘ 比 p 长 1,且 p’ 上有 k+1 个不同的节点。

      

对 p‘ 重复 ()~(),得到 G 中 Hamilton 通路或比 p’ 更长的基本通路,由于 G 中节点数目有限,故在有限步内一定能得到 G 中一条 Hamilton 通路

 

推论2.1:设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图,如果对于任意两个不相邻的节点 u, v∈V,均有 deg(u)+deg(v)n-1,则 G 中一定存在 Hamilton 回路

需要指出的是,推论2.1就是著名的 Ore 定理

 

推论2.2:设 G=(V, E) 是具有 n 个节点的简单无向图,n3,如果对于任意的 u∈V,均有 deg(v)n/2,则 G 是 Hamilton 图

 

四、刷题练手

 

额,暂时只写了一道题目,还是非常裸的求 Hamilton 回路的题目 : SGU 122 The book

题目大意:给一个含有 n(2n1000) 个点的无向图,图中每个顶点至少有 (n+1)/2 个相邻点,让求一条 Hamilton 回路

注意到 "每个顶点至少有 (n+1)/2 个相邻点" 这句话,满足 Ore 定理,直接构造解即可,构造的方法就是在证明定理 2 时使用的方法

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