CINTA作业五

1.请心算列举出群 Z₁₀ 的所有生成元

生成元1,3,7,9

2. Z_17^*有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元

Z₁₇*的阶16,$\Phi$(16)=8个生成元
9=3²mod17,gcd(2,16)≠1,所以9不是生成元
10=3³mod17,gcd(3,16)=1,所以10是生成元

3.证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。

证明：
G没有非平凡子群，说明G只有平凡子群，则任何一个元素都能生成G，则G是循环群

4.证明推论7.3：即循环群G中任何元素的阶都整除群G的阶

由命题7.5:当h = g^kmod p ，其中Φ ( p ) = n必定为正整数，已知k>=1
因此可知 d 必定为正整数
因此h 的阶为 n/d
此时，可以看出 h / d = n/(n*d) = 1/ d
由上，推论7.3成立