CINTA作业七：同态

3.如果H¹和H²是群G正规子群,证明H¹H²也是群G的正规子群
对于所有的g∈G,H¹g=gH¹,H²g=gH²
根据封闭性:H¹H²是G的子群，H¹H²g=gH¹H²,得证

5.证明：如果H是群G上指标为2的子群，则H是G的正规子群。
g∈H，gh1=h2g∈H,即gH = Hg；
g∉ H，gh ∈G−H，hg∈G−H，即gH = Hg。

7.证明：如果群G是阿贝尔群，则商群G/H也是阿贝尔群。
∀a，b∈G,∃h1,h2,3,h4,h5∈H,使( a h 1 ) ( b h 2 ) = abh3 = bah3 = bah4h5 = bh4ah5 = ( bh4 ) (ah5)。

9.证明：如果群G是循环群，则商群G/H也是循环群。
因为G是循环群，故有 ∀ g^k1 ， g^k2 ∈ G ,g^k3=g^k1*g^k2,对于商群G / H有(g^k1H)(g^k2H)=g^k3H,得证