CINTA 循环群

CINTA作业五 循环群

一、请心算列举出群Z₁₀的所有生成元

Z₁₀={0,1,2…,9} ; 群的阶为 10 ;
群是循环群，其生成元个数：Φ(10) = 4
{0,1,2…,9}中与10互素的有 1，3，7，9 四个
Z₁₀可表示为<1>
则生成元为 1¹, 1³,1⁷,1⁹(加法群)，即1，3，7，9四个。

二、群 Z₁₇^* 有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元?

Z₁₇^*= {1,2…16 } ，群的阶为 16
群是循环群，其生成元个数：Φ(16) = 8
{1,2…16 } 中与16互素的数有C={1,3,5,7,9,11,13,15}
3为其中一个生成元
9=3² (mod 17), 2 ！∈ C，因而 9 不是生成元
10 =3³ (mod 17), 3 ∈ C，因而10是生成元。

三、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群

证明：

略去G={e}的情况。
由题意知，群G有且只有 为平凡子群的 G 和 {e} 两个子群，
∀g∈G且g≠e，< g >={g^k:k∈Z} 为G的子群，且< g >为循环群，为G中包含元素g的最小子群。
因为G只有G和{e}两个子群，所以群G可以表示为< g >,即G是循环群。

四、证明：有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶

证明：

设循环群G的阶|G|为 n, ∀x ∈G，d表示该元素x的阶满足x^d=e
设g为G其中一个生成元，有 g的阶n满足 gⁿ=e
群G可表示为：G={g⁰,g¹,…g^k…，g^n-1}
元素x可表示为 x=g^k，且0≤k<n;
有 x^d=g^k·d=e=gⁿ
所以有 k·d = n ，即 d | n
有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶得证。