CINTA作业六：拉格朗日定理

1.设G是群，H是G的子群，任取g1，g2∈G，则g${}_1$H=g${}_2$H当且仅当g${}_1$^-1g${}_2$属于H.
充分性：因为g${}_1$H=g${}_2$H，所以存在h${}_1$,h${}_2$∈H,g${}_1$h${}_1$=g${}_2$h${}_2$,则h${}_1$h${}_2$^-1=g${}_2$g${}_1$^-1,因为h${}_1$h${}_2$^-1属于H，则g${}_1$^-1g${}_2$属于H。
必要性：因为g${}_1$^-1g${}_2$属于H,g${}_1$^-1g${}_2$H=H,有因为g${}_1$g${}_1$^-1H=H,所以g${}_1$^-1g${}_2$H=g${}_1$^-1g${}_1$H,g${}_1$g${}_1$^-1g${}_2$H=g${}_1$g${}_1$^-1g${}_1$H,所以g${}_1$H=g${}_2$H。
2.如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg.
若g∈G，则，根据封闭性，gH=Hg
若g∉G，则，gH∉H，Hg∉H，因为[G:H]=2,所以Hg∈G-H，gH∈G-H，则，gH=Hg
3.如果群H是群G的真子群，即存在g∈G但是g∉H，请证明|H|<=|G|/2
因为H是G的真子群,则G|H=0,则nH=G,H=G/n,n>1,则|H|<=|G|/2.
4.设G是阶为pq的群，其中p和q是素数，请证明G的任意真子群是循环群。
因为pq|p，则G存在p阶子群H${}_1$，由拉格朗日定理，且p为素数，H${}_1$为循环群，同理G存在q阶子群H${}_2$,H2为循环群，所以G为pq阶循环群，循环群的子群还是循环群，所以G的任意真子群是循环群。
5.使用群论的方法重新证明费尔马小定理和欧拉定理