标量-向量-矩阵-基础知识

数学基础

定义：

1. 标量定义: 日常生活中常用的单个数字，如游戏中英雄的智力值 10、敏捷值 6、力量值
2. 向量定义: 将多个标量用中括号括起来组成的数组，如英雄属性[10,6,2]。
3. 矩阵定义: 将多个向量按行排列组成的矩形数组，如四个英雄的属性组成的 4×3 矩。

• 特殊关系: 向量是矩阵的特殊形式，每个向量都是 1×3 的矩阵。
• 排列方式: 行向量是数字横向排列，列向量是数字纵向排列，矩阵可视为行向量或列向量的组合。

表示：

1. 标量表示: 使用小写字母xi , j表示，下标 i,j 表示矩阵中第 i 行第 j 列的元素。
2. 向量表示: 使用大写字母 下带 标Xi表示矩阵中的第 i 行向量。
3. 矩阵表示: 使用大写字母 X 表示，n×m 矩阵全体记为Rn × m（数矩）。

下标含义: 在Xi中，i 表示矩阵的第 i 行；在xi , j中，i,j 表示第 i 行第 j 列的元素。

标量知识点总结

标量乘法

向量知识点总结

参考：

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表示方法：

 单位向量

 向量的⻓度

类似勾股定理

向量之间的运算

向量加法

向量减法

向量相乘的两种⽅式

点积：

叉积：

别名：向量积(vector product)，结果为向量

三维公式

矩阵知识点总结

特殊矩阵

 单位矩阵: n×n 方阵，对角线元素为 1，其余为 0，记作I n。
 对角矩阵: n×n 方阵，非对角线元素全为 0，对角线元素可以不全相等。
 三角矩阵: 分为上三角矩阵（下半部分为 0）和下三角矩阵（上半部分为 0），对角矩
阵同时属于两者。

矩阵的运算

矩阵的加法和减法

前提条件: 要求两个矩形状相同（行数和列数分相等）

运算规则: 对应元素相加减，结果保持相同维度。
运算性质: 满足加法交换律（X+Y=Y+X）和结合律（(X+Y)+Z=X+(Y+Z)）。

矩阵的乘法

运算规则: 矩阵每个元素乘以该数字，如kX =(kxi , j )。

Hadamard 乘积方法：

标准矩阵乘法:

条件: 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数

维度: n×p 矩阵乘以 p×m 矩阵得到 n×m 矩阵

性质: 满足结合律和分配律，但不满足交换律

应用价值: 简化线性模型表示，如将 y1=ax1 +b和 y2=ax2 +b表示为Y = Xβ

逆矩阵和转置

逆矩阵：

转置:

对称矩阵: 满足 A^T = A的方阵，对角线两侧元素对称相等。

图像总结

深度学习的应用：