蓝桥杯2021年第十二届真题第二场-整数分解

题目

【问题描述】
将 3 分解成两个正整数的和，有两种分解方法，分别是 3 = 1 + 2 和3 = 2 + 1。注意顺序不同算不同的方法。
将 5 分解成三个正整数的和，有 6 种分解方法，它们是 1+1+3 = 1+2+2 =1 + 3 + 1 = 2 + 1 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1。
请问，将 2021 分解成五个正整数的和，有多少种分解方法？

【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解

动态规划或组合数。

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动态规划比较简单。

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组合数，挡板法，把2021想象成2021个1，每个1之间有2020个空，我们的目的是插入四个板子将这2021个数分成五组，每一组1之和就是作为一个加数，所以$C_{2020}^4$就是我们的答案。

组合数排列数的实现代码

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代码

动态规划

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long dp[10][3000]; // dp[i][j] 用i个数表示出j的方案数 

int N = 5, M = 2021;

int main()
{
	for (int j = 1;j <= 2021;j ++) dp[1][j] = 1;
	
	for (int i = 2;i <= N;i ++) 
		for (int j = 1;j <= M;j ++) // j = i开始也可以（更准确，但不影响结果）
			for (int k = 1;k < j;k ++) //k <= j-i+1 也可以（更准确，但不影响结果）
				dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
	cout << dp[N][M] << endl;
	
	return 0;
}

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提个醒，我因为没开 long long，debug好久！

组合数（挡板法）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL C(int a,int b)
{
    LL res=1;
    for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++)
        res=res*i/j;
    return res;
}

int main()
{
	int N = 5, M = 2021;
    cout<<C(M-1,N-1); // 挡板法
    return 0;
}