【机器人学】-位姿描述和旋转变换（2）

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原创最新推荐文章于 2026-06-28 09:25:42 发布 2.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【机器人学】-位姿描述和齐次变换位姿描述和齐次变换物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。机器人学中采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。首先介绍刚体位姿描述方法，然后引出齐次坐标和齐次变换这些变换基本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标系来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。最后介绍变换方程、欧拉角以及旋转变换通式等内容。位姿描述和齐次变换一、刚体位姿描述1-1 点的位置描述1-2 方位（姿态）描述1-3 刚体的位置与姿态描述1-4 末端执行器坐标系二、坐标变换2-1 坐标平移2- 阅读详情

机器人学基础-旋转变换

空间旋转矩阵中有九个元素，但是这九个元素满足六个约束方程，只有三个独立变量

^A_BX = [ ^AX_B ^AY_B ^AY_B ] = $[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]\begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix}$ ;

其中每个元素满足：

^AX_B $⋅\cdot$ ^AX_B = ^AY_B $⋅\cdot$ ^AY_B = ^AZ_B $⋅\cdot$ ^AZ_B = 1;

^AX_B $⋅\cdot$ ^AY_B = ^AY_B $⋅\cdot$ ^AZ_B = ^AZ_B $⋅\cdot$ ^AX_B = 0;

一、绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）

1-1运动过程

RPY角对应的旋转矩阵，这种描述方法与操作轴末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图；
在这里插入图片描述
坐标系的运动方式：{B}的开始方位与坐标系{A}重合，首先使得{B}绕X_A旋转 $γ\gamma$ 角，在绕Y_A 转 $β\beta$ 角，最后绕 Z_A转 $α\alpha$ 角。（白->黄->红->蓝）

1-2旋转矩阵计算

根据坐标系的变换关系，坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵为：注意这里需要右乘，相对于基坐标系而言

^A_BR_xyz( $γ\gamma$ , $β\beta$ , $α\alpha$ ) = R(Z_A, $α\alpha$ ) $⋅\cdot$ R(Y_A, $β\beta$ ) $⋅\cdot$ R(X_A, $γ\gamma$ )

= $[cα−sα0sαcα0001]\begin{bmatrix} c \alpha & -s\alpha& 0 \\ s\alpha & c\alpha&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix}$ $[cβ0sβ010−sβ0cβ]\begin{bmatrix} c \beta& 0& s\beta \\0& 1&0\\-s\beta&0&c\beta\\ \end{bmatrix}$ $[1000cγ−sγ0sγcγ]\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & c\gamma&-s\gamma\\0&s\gamma&c\gamma\\ \end{bmatrix}$

= $[cα⋅cβcα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγcα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅cβsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγ−sβcβ⋅sγcβ⋅cγ]\begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix}$

1-3RPY角计算

已知旋转矩阵^A_BR，令该矩阵和矩阵^A_BR_xyz对应元素相等可得

$[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]\begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix}$ = $[cα⋅cβcα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγcα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅cβsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγ−sβcβ⋅sγcβ⋅cγ]\begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix}$

通过比较可得cos $β\beta$ = $±R112+R212\pm\sqrt {R11^2+R21^2}$ ，通常我们规定 $β∈[−90,+90]\beta\in[-90,+90]$ ，所以我们可以得到cos $β\beta$ = $+R112+R212+\sqrt {R11^2+R21^2}$ 。

如果cos $β≠0\beta\neq0$ ，则可以得到：
$β=Atan⁡2(−R31,R112+R212)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = A\tan2(-R31,\sqrt{R11^2+R21^2})$
$α=Atan⁡2(R21，R11)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = A\tan2(R21，R11)$
$γ=Atan⁡2(R32，R33)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R32，R33)$
其中 $Atan⁡2(y,x)A\tan2(y,x)$ 成为四象限反正切函数

如果cos $β=±90\beta = \pm90$ ，则只能得到 $α和γ\alpha和\gamma$ 的和或差，通常选择 $α=0\alpha = 0$ 。

如果cos $β=+90\beta = +90$ ，则可以得到：
$β=90\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = 90$
$α=0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0$
$γ=Atan⁡2(R12，R22)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R12，R22)$

如果cos $β=−90\beta = -90$ ，则可以得到：
$β=−90\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = -90$
$α=0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0$
$γ=−Atan⁡2(R12，R22)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = -A\tan2(R12，R22)$