【机器人学】-位姿描述和旋转变换（2）

机器人学基础-旋转变换

空间旋转矩阵中有九个元素，但是这九个元素满足六个约束方程，只有三个独立变量

^A_BX = [ ^AX_B ^AY_B ^AY_B ] = $\left[\begin{array}{ccc}R11& R12& R13\\ R21& R22& R23\\ R31& R32& R33\end{array}\right]$;

其中每个元素满足：

^AX_B $\cdot$ ^AX_B = ^AY_B $\cdot$ ^AY_B = ^AZ_B $\cdot$ ^AZ_B = 1;

^AX_B $\cdot$ ^AY_B = ^AY_B $\cdot$ ^AZ_B = ^AZ_B $\cdot$ ^AX_B = 0;

一、绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）

1-1运动过程

RPY角对应的旋转矩阵，这种描述方法与操作轴末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图；

坐标系的运动方式：{B}的开始方位与坐标系{A}重合，首先使得{B}绕X_A旋转$\gamma$ 角，在绕Y_A 转$\beta$ 角，最后绕 Z_A转$\alpha$ 角。（白->黄->红->蓝）

1-2旋转矩阵计算

根据坐标系的变换关系，坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵为：注意这里需要右乘，相对于基坐标系而言

^A_BR_xyz($\gamma$ ,$\beta$, $\alpha$ ) = R(Z_A,$\alpha$) $\cdot$ R(Y_A,$\beta$) $\cdot$ R(X_A,$\gamma$)

= $\left[\begin{array}{ccc}c\alpha & -s\alpha & 0\\ s\alpha & c\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$