坐标变换：欧拉角与RPY角——机器人学（一）

坐标变换：欧拉角与RPY角

机器人学（一）

一、前乘法与后乘法：

${}^A{T}_B:$表示同一点在B系中变换到A系中——${}^{A}P={}^A{T}_B{}^{B}P$。
            \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space            表示坐标系B相对于A的位姿。
注：前乘法对世界系运动，后乘对变换后坐标系运动；

机器人使用后乘法；

复合运动：

矩阵求逆：

绕任意轴旋转（如下绕k轴旋转）：
注：C(下图指${}^T{C}_C$ )变换后为系C，C的 X,Y,Z 轴即为 i ,j ,k.。

注：T即为世界系（图中x ,y ,z轴），X为C系下的系T姿态。

注：T绕K旋转即为将C下的T（C下T为X）绕Z旋转：

二、欧拉角和RPY角：

一、欧拉角：

逐次换系进行变换：
$$Euler(\varphi ,\theta ,\psi )=R_z(\varphi )R_y(\theta )R_z(\psi )（Roll,Pitch,Yaw）$$

​ 步骤： 1、绕z轴旋转$\varphi$; 2、绕y轴旋转$\theta$; 3、绕z轴旋转$\psi$.

欧拉角有12种形式，这里以z-y-z为例(用tan)解方程：

1、如果$\theta =0,a_x=a_y=0,\varphi ,\theta$ 绕着同一个轴旋转，可自行决定二者值；

2、如果$\theta \ne 0,\varphi =tha{n}^{-1}[\frac{a_y}{a_x}]$或者$tha{n}^{-1}[\frac{a_y}{a_x}]+180°$;由此得到$\varphi$；

再解$\theta$：若$cos\theta =a_z,sin\theta =cos\varphi a_x+sin\varphi a_y,\theta =tha{n}^{-1}[\frac{sin\theta }{cos\theta }]$;

最后解$\psi$：$sin\psi =-sin\varphi n_x+cos\varphi n_y,cos\psi =-sin\psi o_x+cos\varphi o_y$,同理:

$\psi =tha{n}^{-1}[\frac{sin\psi }{cos\psi }]$

二、RPY角：

均对世界系变换：
$$RPY(\varphi ,\theta ,\psi )=R_z(\varphi )R_y(\theta )R_x(\psi )$$

​ 步骤：1、绕x轴旋转$\psi$; 2、绕y轴旋转$\theta$; 3、绕z轴旋转$\varphi$;

​

$RPY(\varphi ,\theta ,\psi )$的奇异点出现在$\pm 90°$,讨论与上述类似。

二种过程不一样，结果一样。