旋转矩阵R、平移向量t以及变换矩阵T的定义及其下标的含义

欧拉角与旋转矩阵及旋转矩阵下标含义-优快云博客

旋转矩阵Rwb下标的含义(两个理解角度,同一个旋转矩阵):

1、世界坐标系w旋转到机器人坐标系b的旋转矩阵,表示机器人在世界坐标系中的姿态;

2、将机器人坐标系中的(点或向量)变换到世界坐标系的变换矩阵,表示同一个(点或向量)分别在机器人坐标系和世界坐标系的坐标表示。

### 刚体旋转矩阵与方向余弦矩阵的关系 在三维空间中,刚体的旋转可以通过旋转矩阵来描述。此矩阵不仅用于表示不同坐标系间同一向量坐标的转换关系,还具体描绘了旋转的本质[^2]。 #### 定义与性质 方向余弦矩阵由两组不同的标准正交基之间基底向量的方向余弦构成。假设存在两个直角坐标系 \( OXYZ \) 和 \( Ox'y'z' \),其中每一轴都有对应的单位矢量作为各自的标准正交基,则这两个坐标系之间的相对姿态可通过一个3×3阶方阵表示出来,这个矩阵就是所谓的方向余弦矩阵\[ R=\begin{bmatrix} l_{xx'} & m_{xy'}& n_{xz'} \\l_{yx'} &m_{yy'} &n_{yz'}\\l_{zx'} &m_{zy'} &n_{zz'}\end{bmatrix}\][^4]。 这里, - \( l, m, n \) 表示的是原坐标系中的某条轴线(\(X\) 或者 \(Y\) 或者 \(Z\))投影到新坐标系相应轴上的分量; - 下标分别代表旧坐标系和新坐标系对应轴名; 因此,当考虑从原始坐标系转至目标坐标系的过程时,上述矩阵实际上起到了桥梁作用,它能够将任意向量按照新的参照框架重新表述。 #### 数学推导过程 给定任意初始状态下的向量 \(V_0=a_i+b_j+c_k\) ,经过一次旋转变换后变为 \(V'=a'_i'+b'_j'+c'_k'\)。此时有: \[ V' = RV_0 \] 这意味着通过乘以旋转矩阵 \(R\) 可实现对原向量 \(V_0\) 坐标的更新操作。而为了构建这样的变换规则,就需要计算每一对相互垂直且长度相等的基础向量间的夹角余弦值并填入相应的行列位置形成最终的形式化表达式。 对于单次绕固定轴转动的情况来说,比如仅围绕 \(Z\) 轴发生角度变化 θθ 的情形下,其具体的 DCM 形态如下所示: ```matlab % 绕 Z 轴旋转的角度为 theta theta = pi / 4; % 示例取 π/4 即 45 度 DCM_z_rotation = [cos(theta), -sin(theta), 0; sin(theta), cos(theta), 0; 0, 0, 1]; ``` 同样的逻辑适用于其他两种情况(即沿 \(X\) 或 \(Y\) 轴),只是内部元素排列有所区别而已[^3]。 综上所述,无论是称为“旋转矩阵”还是“方向余弦矩阵”,本质上都是指同一个概念的不同称呼方式,在实际应用当中二者是可以互换使用的[^1]。
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