相平面案例分析爱情故事

动态系统的分析可以分为三个步骤：第一步描述系统，通过语言来描述系统的特性，第一步描述系统，即通过语言来描述系统的特性；第二步数学分析，即使用数学工具对系统进行量化解析；第三步结果与讨论，即根据第二步数学分析的结果，进行深层次的思考与讨论。

爱情是永恒的主题，每个人都有自己的故事。康奈尔大学应用数学系教授Steven Strogatz在1988年首先将爱情模型引入相轨迹分析的教学中。他当时在哈佛大学做博士后，根据课堂的经验引入了这一模型。他选用的是莎翁笔下的著名人物——罗密欧与朱丽叶。之后很多教师都纷纷使用这一概念来引起同学们的兴趣，而每一个教师也会在其中加入自己的思考与分析。

为了使本书读者有更好的代入感，我将选用两个中国人的名字，来自我的两位朋友，男生叫雨飞，女生叫梦寒，如图3.4.1所示。其中，雨飞对梦寒的感情用$Y(t)$来表示，梦寒对雨飞的感情用$M(t)$来表示。$Y(t)$与$M(t)$大于零时说明他们是相爱的，小于零时说明他们心有怨恨，等于零时说明他们对对方无感。

分以下几种情况进行讨论。

情况(1)： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]=\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]$，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -b& 0\end{array}\right]$，$a>0$ 且 $b>0$。

第一步：描述系统。
从上式可以看出，雨飞是一个耿直男孩。他的表现是：如果你对我好（$M(t)>0$），我就会对你产生好感（$\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=aM(t)>0$）；如果你讨厌我（$M(t)<0$），我也不搭理你（$\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=aM(t)<0$）。他属于“投桃报李”加“以牙还牙”的性格。这种性格过于直来直去，在现实生活中其实不太容易受到欢迎。

而梦寒则是一个多情甚至有些矫情的女孩。当雨飞向她嘘寒问暖时（$Y(t)>0$），她爱答不理，你越热情，她就越远离（$\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}=-bY(t)<0$）。而当雨飞开始疏远她时（$Y(t)<0$），她又发现了雨飞身上的优点，不可控制地开始爱上他（$\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}=-bY(t)>0$）。即“欲迎还拒”加“若即若离”的性格。当这两种性格遇到一起，就会发生一些奇妙的事情。

第二步：数学分析。
首先求系统的平衡点，令$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]=0$，得到平衡点$\{\begin{array}{l}{Y}_f=0\\ M_f=0\end{array}$。

求矩阵$\mathbf{A}$的特征值，可得${\lambda }_{1,2}=\pm \sqrt{ab}\mathrm{j}$。根据表3.3.1，判断出平衡点是一个中心点。它的相轨迹是图3.4.2所示的椭圆（参考例3.3.5）。根据初始状态的不同，这个椭圆的大小会有所不同。

第三步：结果与讨论。
分析图3.4.2中的相轨迹，会发现他们之间是一个无限循环、爱恨交织的关系。例如，以第四象限的$[Y(t_0),M(t_0){]}^{\mathrm{T}}$点作为初始条件开始分析。在$t_0$时刻，$Y(t_0)>0$代表雨飞爱着梦寒，而$M(t_0)<0$则代表梦寒正在讨厌着雨飞。此时，${\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}=aM(t_0)<0$，说明了因为梦寒讨厌雨飞，所以雨飞对她的热情也在减少当中。直到过了某个临界点之后，相轨迹来到了第三象限，雨飞开始讨厌梦寒了，$Y(t_1)<0$。而这时${\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_1}>0$，说明梦寒对雨飞的态度发生了转变，虽然还是讨厌，但因为雨飞开始不搭理她，她反而想起了雨飞的好，$M(t)$开始增加，向正方向移动。二人的关系继续发展到下一个临界点（进入第二象限），此时的雨飞已经非常讨厌梦寒，而梦寒却开始喜欢上雨飞（$M(t_2)>0$）。随着梦寒态度变得亲近，雨飞的热情又重新被燃了起来，此时${\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_2}>0$。沿着这个椭圆继续走，相轨迹进入第一象限，雨飞又开始喜欢梦寒（$Y(t_3)>0$），但梦寒却因为受不了他的热情，逐渐变得冷淡了起来，${\frac{\mathrm{d}M(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_3}<0$。

就这样，他们有四分之一时间是相爱的（第一象限），有四分之一时间是互相看不顺眼的（第三象限）。而剩下的二分之一时间是一半火焰，一半海洋（第二、四象限）。这是个不错的关系，也是情侣之间的常态。因为即使在这互不顺眼的四分之一时间内，也充满了对未来的希望和憧憬。

情况(2)： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]=\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]$，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}-a& b\\ b& -a\end{array}\right]$，$a>0$ 且 $b>0$。

第一步：描述这种情况下的爱情系统。
以雨飞为例，$\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}=-aY(t)+bM(t)$，说明雨飞的感情变化$\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}$和梦寒对其的感情$M(t)$是正相关的。如果雨飞感受到的是梦寒的爱（$M(t)>0$），那么就会促进雨飞对梦寒感情的增长（$bM(t)>0$），而如果他感受到的是梦寒的恨（$M(t)<0$），那么他对梦寒的感情也会受挫（$bM(t)<0$）。同时，雨飞的感情变化$\frac{\mathrm{d}Y(t)}{\mathrm{d}t}$还与他自身对梦寒的感情反相关，因为其中包含了$-aY(t)$这一项。这说明了他很小心，不管是爱或恨都会有所保留，有所克制。因为矩阵$\mathbf{A}$是一个对称矩阵，所以梦寒的性格和雨飞是一样的。

第二步：对这个系统进行数学分析。
首先求系统的平衡点，令$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{array}{c}Y(t)\\ M(t)\end{array}\right]=0$，可以得到平衡点$\{\begin{array}{l}{Y}_f=0\\ M_f=0\end{array}$。

求矩阵$\mathbf{A}$的特征值，可得
$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=-a+b\\ {\lambda }_2=-a-b\end{array}(\mathrm{3.4.1})$$
其所对应的特征向量为
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{v}}_1=[1,1{]}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{v}}_2=[1,-1{]}^{\mathrm{T}}\end{array}(\mathrm{3.4.2})$$
这时需要分情况进行讨论。

情况(2.1)： $a>b$。

在这种情况下，他们两个人对于自我的意识要超过对于对方的感情，换言之，他们都很理智，都倾向于克制自己的情感。根据式(3.4.1)，当$a>b$时，${\lambda }_1<0$且${\lambda }_2<0$，所以平衡点是一个稳定节点。它的相轨迹如图3.4.3(a)所示，无论是从任何的初始状态开始，随着时间的增加，$Y(t)$和$M(t)$都会趋于0，并最终稳定在0点处。在这种情况下，不管他们曾经爱得有多深，或是恨得有多深，随着时间的增加，雨飞与梦寒终究会成为路人，相忘于江湖，$Y(t)=M(t)=0$。

情况(2.2)： $a<b$。

在这种情况下，他们两个人对于对方的感情都超过了对于自我的意识，他们都很感性，都更加勇于表达对对方的情感。根据式(3.4.1)，当$a<b$时，${\lambda }_1>0$而${\lambda }_2<0$，所以平衡点是一个鞍点。它的相轨迹如图3.4.3(b)所示。可以发现，这将导致两种极端的情况，他们或者在第一象限共浴爱河（$Y(t)>0$且$M(t)>0$），或者在第三象限成为仇敌（$Y(t)<0$且$M(t)<0$）。而最终的结果与初始状态相关，即他们给对方的第一印象。

如果他们初次见面时对对方的感受在图3.4.3(b)所示的第四象限中的$[Y(t_0),M(t_0){]}^{\mathrm{T}}$点，在此时刻，雨飞深爱着梦寒（$Y(t_0)>0$），但是梦寒却不喜欢雨飞（$M(t_0)<0$）。在以后的交往中，梦寒对雨飞的感情逐渐升温，可以看到$M(t)$在相轨迹中向上移动（增加）。而雨飞虽然动摇过（$Y(t)$在不断减小），但是却仍然一直爱着梦寒（$Y(t)>0$）。终于，他们突破了零界点，进入第一象限。两个人开始过上了幸福的生活。相反地，如果他们初次见面时的感受在图3.4.3(b)所示的第四象限中的$[Y(t_1),M(t_1){]}^{\mathrm{T}}$点，这个时候，雨飞爱着梦寒（$Y(t_1)>0$），但是梦寒非常讨厌雨飞（$M(t_1)<0$）。在后面的发展中，虽然梦寒的感情在升温，但是雨飞却先坚持不住了，终于达到零界点并且崩溃（相轨迹进入第三象限），他们最终由爱生恨，变成了仇人。所以，一定要珍惜第一次亮相的机会，不要等到和心上人见面以后才想起来要充实自己或是做身材管理，初始条件将决定最后的结果，要时刻做好准备，给对方留下惊艳的初次印象。

第三步：结果与讨论。
上面的结果说明当一个人过于理性，过于在乎自我的时候（$a>b$），往往就会忽略别人的感受，最终会和心上人变为路人，成为一个孤独的人。而如果对对方倾入的情感大于对自我的意识时（$a<b$），则会有两种结果，要么共浴爱河，要么因爱生恨。通过这个分析可以得出两个结论：①有很多人愿意一辈子做朋友，却不愿意去打破这个微妙的平衡。②如果不认真的话，那肯定赢不了；但是如果认真的话，那就有可能会输了。