利用相平面与相轨迹分析Logistic人口繁殖模型

最新推荐文章于 2025-11-20 19:40:48 发布

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#平面

利用相平面与相轨迹分析Logistic人口繁殖模型，它的微分方程为
$dP(t)dt=rP(t)(1−P(t)K)(3.3.2)\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = rP(t)\left(1 - \frac{P(t)}{K}\right) \quad (3.3.2)$
其中， $P (t)$ 是人口数， $r$ 是人口的自然增长率（ $r > 0$ ）， $K$ 是环境承载力。

解：式(3.3.2)可以写成
$dP(t)dt=rP(t)−rKP2(t)(3.3.3)\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = rP(t) - \frac{r}{K}P^{2}(t) \quad (3.3.3)$

因为式(3.3.3)存在 $P^{2}(t)$ 项，所以它是一个非线性的系统，求解微分方程相较于线性系统会更加困难，使用相平面可以简化分析并直观地理解系统的特征。首先来寻找系统的平衡点，令 $dP(t)dt=0\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t} = 0$ ，可得
$\begin{align*} 0 &= rP(t) - \frac{r}{K}P^{2}(t) \\ \Rightarrow \begin{cases} P_{f1} &= 0 \\ P_{f2} &= K \end{cases} \quad (3.3.4) \end{align*}$