矩阵的秩（Rank）与其伴随矩阵（Adjugate Matrix）的秩之间关系

矩阵的秩（Rank）与其伴随矩阵（Adjugate Matrix）的秩之间存在如下关系：

1. 伴随矩阵的定义

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 是矩阵 $A$ 的所有代数余子式组成的转置矩阵。若 $A$ 是一个 $n\times n$ 的方阵，伴随矩阵也是 $n\times n$ 的方阵。

2. 基本性质

矩阵 $A$ 和其伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 的秩之间的关系可以总结如下：

（1）如果 $\text{rank}(A)=n$：

• $A$ 是非奇异矩阵（可逆矩阵）。
• $\text{adj}(A)=\det (A)\cdot I_n$，其中 $I_n$ 是单位矩阵。
• 结论： $\text{rank}(\text{adj}(A))=n$。

（2）如果 $\text{rank}(A)=n-1$：

• $A$ 是奇异矩阵，但其秩接近满秩。
• $\text{adj}(A)\ne 0$，且 $\text{rank}(\text{adj}(A))=1$。
• 结论： 在这种情况下，伴随矩阵的秩始终为 1。

（3）如果 $\text{rank}(A)<n-1$：

• $A$ 是奇异矩阵，且秩不足 $n-1$。
• $\text{adj}(A)=0$。
• 结论： $\text{rank}(\text{adj}(A))=0$。

3. 总结规律

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，秩为 $r$：

• 当 $r=n$： $\text{rank}(\text{adj}(A))=n$。
• 当 $r=n-1$：$\text{rank}(\text{adj}(A))=1$。
• 当 $r<n-1$： $\text{rank}(\text{adj}(A))=0$。

4. 证明核心思路

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 的每个元素是矩阵 $A$ 的 $(n-1)$-阶子式的行列式。当 $\text{rank}(A)<n-1$ 时，所有的 $(n-1)$-阶子式为零，因此 $\text{adj}(A)=0$。但如果 $\text{rank}(A)=n-1$，则至少有一个 $(n-1)$-阶子式非零，因此 $\text{adj}(A)$ 的秩为 1。

示例

假设 $A$ 为 $3\times 3$ 的矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right].$$

可以验证：

• 如果 $A$ 的秩为 3，则 $\text{adj}(A)$ 的秩为 3。
• 如果 $A$ 的秩为 2，则 $\text{adj}(A)$ 的秩为 1。
• 如果 $A$ 的秩小于 2，则 $\text{adj}(A)=0$，秩为 0。