矩阵的迹(Trace)
n×nn\times nn×n的方阵A的n个对角线元素的和称为方阵A的迹,记作tr(A).
A=(a11⋯a1n⋮ ⋮an1⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}A=⎝⎜⎛a11⋮an1⋯ ⋯a1n⋮ann⎠⎟⎞
由定义知,tr(A)=a11+a22+⋯+ann=∑j=0najjtr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^n a_{jj}tr(A)=a11+a22+⋯+ann=j=0∑najj
矩阵的秩(Rank)
定义1(比较晦涩):域FFF上n×mn\times mn×m的非零矩阵A的所有子式中必有一个阶数最大的非零子式,其阶数称为矩阵A的秩,记作rank(A)rank(A)rank(A). 零矩阵的秩定义为零。
定义2:矩阵AAA的秩是AAA的列空间的维数,记作rank(A)rank(A)rank(A)。(因为AAA的主元列形成AAA的列空间Col ACol\space ACol A的一个基,所以AAA的秩正好是AAA的主元列的个数。)
由于矩阵A的子式阶数不超过A的行数及列数,所以域FFF上n×mn\times mn×m的非零矩阵A的秩有:
(1)0≤rank(A)≤min(n,m)0\leq rank(A)\leq min(n,m)0≤rank(A)≤min(n,m);
(2)rank(cA)=rank(A)rank(cA)=rank(A)rank(cA)=rank(A),其中c为不等于0的常数;
(3)rank(AT)=rank(A)rank(A^T)=rank(A)rank(AT)=rank(A);
(4)rank(A‾)=rank(A)rank(\overline{A})=rank(A)rank(A)=rank(A), rank(A∗)=rank(A)rank(A^{*})=rank(A)rank(A∗)=rank(A). 其中A‾\overline{A}A为AAA的共轭矩阵,A∗A^{*}A∗为AAA的伴随矩阵。
使用MATLAB求矩阵的秩(RANK)
若要求矩阵AAA的秩,可以先将矩阵AAA化简为简化阶梯阵(reduced echelon form),然后数其主元列(pivot columns)数即为AAA的秩。
>>A = [1 2 3 4;4 5 6 7;6 9 12 15;1 1 1 1]
A =
1 2 3 4
4 5 6 7
6 9 12 15
1 1 1 1
>>rref(A) //求简化阶梯阵
ans =
1 0 -1 -2
0 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
//可见A的简化阶梯阵有2个主元列---第一列和第二列,所以秩为2. 可以使用rank()函数快速求矩阵的秩,进行验算
>>rank(A)
ans =
2
//验算结果和计算的主元列数一致。
可见,对于上例的矩阵AAA,有两个主元列(第一和第二列),所以秩为2。由于上述矩阵化为简化阶梯阵后,有2列不是主元列,所以有方程Ax=0Ax=0Ax=0有2个自由变量(非主元列对应于方程Ax=0Ax=0Ax=0的自由变量),所以主元列加非主元列正好等于矩阵AAA的列数。所以可以得出一下秩定理:
秩定理:如果矩阵AAA有nnn列,那么rank A+dim Nul A=nrank\space A+dim\space Nul\space A=nrank A+dim Nul A=n。
共轭矩阵(Conjugate Matrix)
n×mn\times mn×m的复矩阵A的共轭矩阵是m×nm\times nm×n的矩阵(形如其转置矩阵),记作A∗A^{*}A∗:
A=(a11⋯a1m⋮ ⋮an1⋯anm)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1m}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}A=⎝⎜⎛a11⋮an1⋯ ⋯a1m⋮anm⎠⎟⎞
A‾=(a11‾⋯a1m‾⋮ ⋮an1‾⋯anm‾)\overline{A}=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{1m}}\\\vdots&\ &\vdots\\\overline{a_{n1}}&\cdots&\overline{a_{nm}}\end{pmatrix}A=⎝⎜⎛a11⋮an1⋯ ⋯a1m⋮anm⎠⎟⎞
A∗=(a11‾⋯an1‾⋮ ⋮a1m‾⋯anm‾)A^{*}=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{n1}}\\\vdots&\ &\vdots\\\overline{a_{1m}}&\cdots&\overline{a_{nm}}\end{pmatrix}A∗=⎝⎜⎛a11⋮a1m⋯ ⋯an1⋮anm⎠⎟⎞
共轭矩阵求法是,先将A转置,再对每个元素求共轭即可:
A∗=AT‾A^{*}=\overline{A^T}A∗=AT
共轭矩阵也叫自共轭矩阵、Hermite矩阵,要求元素ajka_{jk}ajk与akja_{kj}akj共轭,即ajk‾=akj‾\overline{a_{jk}}=\overline{a_{kj}}ajk=akj如:
(13+2i3−2i1)\begin{pmatrix}1&3+2i\\3-2i&1\end{pmatrix}(13−2i3+2i1)中,a12=3+2ia_{12}=3+2ia12=3+2i与a21=3−2ia_{21}=3-2ia21=3−2i共轭相等,所以此矩阵为共轭矩阵。
伴随矩阵(Adjugate Matrix)
设矩阵A为域F上的n阶方阵:
A=(a11⋯a1n⋮ ⋮an1⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\ &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}A=⎝⎜⎛a11⋮an1⋯ ⋯a1n⋮ann⎠⎟⎞
记AjkA_{jk}Ajk为元素ajka_{jk}ajk的代数余子式,用域F上n2n^2n2个数AjkA_{jk}Ajk构成的n阶方阵即方阵A的伴随方阵,记作A(∗)A^{(*)}A(∗)。求法,先构成代数余子式矩阵:
(A11A12⋯A1nA21A22⋮A2n⋮⋮ ⋮An1An2⋯Ann)\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\vdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛A11A21⋮An1A12A22⋮An2⋯⋮ ⋯A1nA2n⋮Ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞
再将其转置即可得到A的伴随矩阵A(∗)A^{(*)}A(∗):
(A11A21⋯An1A12A22⋮An2⋮⋮ ⋮A1nA2n⋯Ann)\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\vdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋮ ⋯An1An2⋮Ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞
基底(Basis)维数(Dimension)与秩(Rank)
基底(或称基,basis):如果向量空间HHH中的一组线性无关向量可以把该空间内所有向量通过线性组合的方式表示出来,那么这组向量成为该空间的一个基。
由定义知,基是一组向量的组合。
相对某个基的坐标的计算方法:如果B={b1,…,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}B={b1,…,bp}是子空间HHH的一组基,对HHH中每一个向量xxx,相对于基B={b1,…,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}B={b1,…,bp}的坐标是使得x=c1b1+⋯+cpbpx=c_1b_1+\dots +c_pb_px=c1b1+⋯+cpbp成立的权c1,…,cpc_1,\dots,c_pc1,…,cp,且RpR^pRp中的向量[x]B=[c1⋮cp][x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_p\end{bmatrix}[x]B=⎣⎢⎡c1⋮cp⎦⎥⎤称为xxx相对于基BBB的坐标向量,或称xxx的BBB-坐标向量。
例:设v1=[362]v_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}v1=⎣⎡362⎦⎤,v2=[−101]v_2=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}v2=⎣⎡−101⎦⎤,x=[3127]x=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}x=⎣⎡3127⎦⎤,B={v1,v2}B=\{v_1,v_2\}B={v1,v2},因为v1,v2v_1,v_2v1,v2显然线性无关,所以BBB是H=Span{v1,v2}H=Span\{v_1,v_2\}H=Span{v1,v2}的基。请判断xxx是否在空间HHH中,如果在,请求出xxx相对于BBB的坐标向量。
解:
如果xxx在空间HHH中(空间HHH是v_1和v_2确定的平面),则方程c1v1+c2v2=xc_1v_1+c_2v_2=xc1v1+c2v2=x,c1c_1c1和c2c_2c2称为权,即:
c1[362]+c2[−101]=[3127]c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}c1⎣⎡362⎦⎤+c2⎣⎡−101⎦⎤=⎣⎡3127⎦⎤是有解的(或说相容的)
如果权c1c_1c1、c2c_2c2存在,那么它们是xxx的BBB-坐标。
下面解方程:c1v1+c2v2=xc_1v_1+c_2v_2=xc1v1+c2v2=x对应的增广矩阵:
[3−136012217]→[102013000]\begin{bmatrix}3&-1 &3\\6&0&12\\2&1&7\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}⎣⎡362−1013127⎦⎤→⎣⎡100010230⎦⎤
即:c=[c1c2]=[23]c=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}c=[c1c2]=[23]
所以[x]B=[c1c2]=[23][x]_B=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}[x]B=[c1c2]=[23]就是xxx相对于基BBB的坐标向量,或称xxx的BBB-坐标向量。
即:x=2v1+3v2x=2v_1+3v_2x=2v1+3v2,画图如下:
总结:
虽然HHH中的点也在R3R^3R3中,但是它们完全由属于R2R^2R2的坐标向量确定(因为本例中HHH是v_1和v_2确定的平面,属于R2R^2R2)。映射x∣→[x]Bx|\rightarrow [x]_Bx∣→[x]B是使HHH和R2R^2R2之间保持线性组合关系的一一映射,那么可以称这种映射是同构的,本例中HHH与R2R^2R2同构。
一般地,如果B={b1,…,bp}B=\{b_1,\dots ,b_p\}B={b1,…,bp}是子空间HHH的一组基,则映射x∣→[x]Bx|\rightarrow [x]_Bx∣→[x]B是使HHH和RpR^pRp的形态一样的一一映射(HHH中的向量可能多于ppp个元素)。