含寄生电阻的电容两端电压稳态值大小

1. 直流稳态条件

假设电路中只有一个电源、一个电阻 $R$ 和一个电容 $C$ 串联。对于直流电源（假设为 $V_{\text{dc}}$），我们考虑在稳态下的情况。

电路分析：

在直流稳态下，电流最终会稳定下来。由于电容在直流电场下不再改变电荷，其阻抗趋近于无限大。即：

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}\to \infty (\text{当}\omega \to 0)$$

在稳态下，电流 $I=0$，因此电容不再进行充电过程，电阻上也不会有电流流过。此时，电阻两端的电压为零，即：

$$U_R=I\cdot R=0$$

由于电源的电压总和必须等于电容上的电压：

$$U_{\text{dc}}=U_C+U_R=U_C+0$$

所以，最终得到：

$$U_C=U_{\text{dc}}$$

也就是说，电容的电压 $U_C$ 等于电源的电压 $U_{\text{dc}}$，电阻两端的电压为 0。

2. 交流稳态条件

对于交流电源（假设为正弦波源，频率为 $f$），电容和电阻串联的电路的行为就不同。我们需要使用阻抗分析来求解。

电路分析：

在交流稳态下，电容的阻抗为：

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

电阻的阻抗为：

$$Z_R=R$$

串联电路的总阻抗 $Z_{\text{总}}$ 为电阻和电容的阻抗之和：

$$Z_{\text{总}}=Z_R+Z_C=R+\frac{1}{j\omega C}$$

如果电源电压为 $V_{\text{ac}}$（即一个复数形式的电压源），那么电流 $I$ 为：

$$I=\frac{V_{\text{ac}}}{Z_{\text{总}}}=\frac{V_{\text{ac}}}{R+\frac{1}{j\omega C}}$$

根据欧姆定律，电阻两端的电压 $U_R$ 为：

$$U_R=I\cdot R=\frac{V_{\text{ac}}\cdot R}{R+\frac{1}{j\omega C}}$$

电容两端的电压 $U_C$ 为：

$$U_C=I\cdot \frac{1}{j\omega C}=\frac{V_{\text{ac}}}{R+\frac{1}{j\omega C}}\cdot \frac{1}{j\omega C}$$

电压的总和：

总电压 $U_{\text{总}}=U_R+U_C$ 必须等于电源的电压：

$$U_{\text{总}}=V_{\text{ac}}$$

在交流稳态下，电容电压和电阻电压的相位和幅度不同，因此它们并不直接相等。它们通过串联电路的总阻抗来分配电压。

结论：

• 在直流稳态下，电容电压 $U_C$ 等于电源电压 $U_{\text{dc}}$，电阻两端的电压 $U_R=0$。
• 在交流稳态下，电容电压 $U_C$ 和电阻电压 $U_R$ 通过串联电路的阻抗分配，总电压 $U_{\text{总}}$ 等于电源电压，但它们通常不会相等。

这种电压分配是由于电容和电阻的阻抗不同，并且它们的电压存在相位差。因此在交流电路中，电容和电阻两端的电压一般是不同的。