[洛谷] P2704 [NOI2001]炮兵阵地

原创于 2019-07-07 20:44:31 发布 · 158 阅读

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本文介绍了一种使用状压动态规划(DP)解决特定棋盘放置问题的方法。在一个n*m的棋盘上，某些格子不可放置棋子，目标是找到最多能放置多少个棋子的方案，确保任意两棋子间至少隔开两个空格。通过预处理每行的可行状态及其棋子数量，利用滚动数组优化，实现了高效求解。

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题目大意

给出一个 $n * m (n \leq 100, m \leq 10)$ 的棋盘，一些格子不能放置棋子。求最多能在棋盘上放置多少个棋子，使得每一行每一列的任两个棋子间至少有两个空格。

题目解析

状压 $D P$

先求出每一行的可行状态，保存到数组 $S$ ，并保存每种状态 $1$ 的个数为 $C$ ，即棋子的个数。

因为棋子的影响范围是 $2$ 格，所以我们向上枚举两行的状态以及当前行的状态

设 $F [i] [j] [k]$ 表示第 $i$ 行的状态为 $j$ 、第 $i - 1$ 行状态为 $k$ 时前 $i$ 行最多能放多少个棋子

$F[i][j][k]=Max(F[i][j][k],F[i-1][k][l]+C_j)$ $C_j$ 表示状态为 $j$ 时 $1$ 的个数 $)$

因为求第 $i$ 行只与 $i - 1$ 行有关，所以可以利用滚动数组优化

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
int a[105],b[1<<10],f[2][1<<11][1<<11],s[1<<10];
char c;
int bitnum(int x)
{
	int sum;
	for(sum=0;x;x-=x&-x,sum++);
	return sum;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=m;j++)
	 {
	   cin>>c;
	   if(c=='P') a[i]|=(1<<m-j);
	 }
	a[0]=(1<<m)-1;
	for(int i=0;i<(1<<m);i++)
	 if((i&(i<<1))==0&&(i&(i<<2))==0&&(i&(i>>1))==0&&(i&(i>>2))==0)
	  b[++b[0]]=i,s[b[0]]=bitnum(i);
	for(int i=1;i<=b[0];i++)
	 if((a[1]&b[i])==b[i])
	  f[0][b[i]][0]=s[i];
	int x=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
	  x^=1;
	  for(int j=1;j<=b[0];j++)
	   if((a[i]&b[j])==b[j])
	    for(int k=1;k<=b[0];k++)
		 if((a[i-1]&b[k])==b[k])
		  for(int l=1;l<=b[0];l++)
		   if((a[i-2]&b[l])==b[l])
		   	if((b[j]&b[k])==0&&(b[j]&b[l])==0&&(b[k]&b[l])==0)
		   	 f[x][b[j]][b[k]]=max(f[x][b[j]][b[k]],f[x^1][b[k]][b[l]]+s[j]);
	}
	for(int i=1;i<=b[0];i++)
	 for(int j=1;j<=b[0];j++)
	  ans=max(ans,f[x][b[i]][b[j]]);
	cout<<ans;
}