[Jzoj] 4812.string

题目大意

给出一个长度为$N$, 由小写英文字母组成的字符串$S$, 求在所有由小写英文字母组成且长度为$N$且恰好有$K$位与$S$不同的字符串中，给定字符串$T$按照字典序排在第几位。
由于答案可能很大，模$10^9+7$ 输出。

题目解析

给定的字符串$T$实际上是取字典序小于$T$的所有字符串

先预处理出$C_i$，表示前$i$位中，$S$串与$T$串之间的差异数

我们枚举每一位$A_i(A_i<T_i)$，当$A_i$与$S_i$不同时，则$i$位之后的允许的位数不同$=K-C[i-1]-1$，表示总共可以有$K$个差异，减去$i-1$前有多少位的差异再减去当前第$i$位不同，所剩余的差异数$X$给剩下的串。$$C_a^b\ast 25^a(a=X,b=n-i)$$

依次类推，就可以得出答案了。

因为要用到组合数学，又要除又要取模，所以要用乘法逆元，即$a/b=a\ast b^p$${}^{-}$${}^2$$(mod$ $p)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define M 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int n,k,ans;
LL a[N],b[N],p[N],ny[N],c[N],s[N];
string s1,s2;
LL qp(LL a,LL b)
{
	LL c=1;
	while(b)
	{
	  if(b&1) (c*=a)%=M;
	  (a*=a)%=M;
	  b>>=1;
	}
	return c%M;
}
int main()
{
	freopen("string.in","r",stdin);
	freopen("string.out","w",stdout);
	p[0]=ny[0]=c[0]=1;
	for(int i=1;i<=100000;i++) p[i]=(p[i-1]*25)%M,c[i]=(c[i-1]*i)%M,ny[i]=qp(c[i],M-2);
	cin>>n>>k>>s1>>s2;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s1[i-1]-'a',b[i]=s2[i-1]-'a';
	for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]!=b[i]) s[i]=s[i-1]+1; else s[i]=s[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=0;j<26;j++)
	  if(j<b[i])
	  {
	  	int x=k-s[i-1];
	  	if(j!=a[i]) x--;
	  	(ans+=(((c[n-i]*ny[x])%M)*ny[n-i-x]%M)*p[x]%M)%=M;
	  }
	cout<<(ans+1)%M;
	return 0;
}