P1417 烹调方案

最新推荐文章于 2024-08-25 22:49:17 发布

wrnge

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本文介绍了一种通过对物品进行特定排序来优化01背包问题解决方案的方法。通过比较相邻两个物品的选择顺序对最终结果的影响，得出排序后可以简化问题为标准01背包问题的结论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

乍一看是01背包问题，实际上不是

01背包问题的写法，是整个物品数组从前往后更新。当你更新第i个物品的时候，此时的状态空间是前i-1个物品的最优解。也就是说已经隐含了

先更新，先选择

由于01背包问题的物品价值与其先后顺序没有关联，所以不用排序。但在这个题里面，如果物品的先后选择直接影响了结果。借用洛谷上的题解

现在考虑相邻的两个物品x,y。假设现在已经耗费p的时间，那么分别列出先做x,y的代价：

a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*by

a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[y]+c[x])*bx

对这两个式子化简，得到①＞②的条件是c[x]*b[y]<c[y]*b[x].

发现只要满足这个条件的物品对(x,y)，x在y前的代价永远更优。

所以说，先排序，就是一个简单的01背包问题了。(记得用long long)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mxn 100005
typedef long long ll;
ll dp[mxn]={0};
struct node{
    ll a,b,c;
}a[mxn];
bool cmp(node a,node b){
    return a.c*b.b<a.b*b.c;
}
int main(void){
    ll t,n;
    cin>>t>>n;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i].a);
    }
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i].b);
    }
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i].c);
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        for(ll j=t;j>=0;j--){
            if(j-a[i].c>=0){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i].c]+a[i].a-j*a[i].b);
            }
        }
    }
    ll mx=0;
    for(ll j=0;j<=t;j++){
        mx=max(mx,dp[j]);
    }
    cout<<mx;
//    printf("%d",dp[t]);
}