『多维DP』P1417 烹调方案

最新推荐文章于 2020-02-07 15:21:14 发布

原创最新推荐文章于 2020-02-07 15:21:14 发布

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博客围绕食材美味指数问题展开，给定总时间T和n种食材，每种食材有三个属性。该问题权值不固定，选取次序影响最大权值。解题先对食材排序，推导得出排序规则，排好序后使用0-1背包模板求解。

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洛谷传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1417

题意简述：总时间T，有n种食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。问在T时间内最大美味指数为多少？

乍一看题目，很容易联想到0-1背包，仔细看此题的权值是不固定的，所以选取次序的不同会导致最大权值的不同。

所以我们在进行0-1背包选择前要先对n种食材进行排序。排序无非就是加一个排序规则。

以下是排序规则的推导：

假设有两种食材X、Y。

我们需要权值大的在前面，所以先选X再选Y的权值是要大于先选Y再选X的权值的。

将其转化成数学表达式

a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*by

a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[y]+c[x])*bx

化简可以得到

当X＞Y时，c[x]*b[y]<c[y]*b[x]。

可以依此写出排序规则。

排好序后可以直接写一个0-1背包的模板

『代码』

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int Max = 100010;
ll t,n;
ll dp[Max] = {0};
struct Node{
    int a,b,c;
}node[Max];
//排序规则
bool cmp(const Node &a,const Node &b){
    return a.c*b.b < b.c*a.b;
}
int main()
{
    cin>>t>>n;
    for(ll i = 1 ; i <= n; i++) cin>>node[i].a;
    for(ll i = 1 ; i <= n; i++) cin>>node[i].b;
    for(ll i = 1 ; i <= n; i++) cin>>node[i].c;
    sort(node+1,node+n+1,cmp);
    for(ll i = 1 ; i <= n; i++){
        for(ll j = t; j >= node[i].c; j--){    
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-node[i].c] +  node[i].a-j*node[i].b);
        }
    }
    ll maxx = -1;
    for(ll i = 0 ; i <= t; i++){
         maxx = max(maxx,dp[i]);
         //cout<<dp[i]<<" ";
    }
    cout<<maxx;
    return 0;
}