洛谷OJ： P1417 烹调方案-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Elvis_code_t/article/details/79982829

本文介绍了一种解决特定01背包问题的优化方法，通过对比不同选择路径的价值变化来确定物品排序准则，实现高效的求解过程。采用C++实现算法，并详细解释了排序条件及其背后的数学原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路: 分析后就是一道01背包题，但如果按普通的01背包题直接进行DP的话只能拿到35分，我们来分析一下为什么。举个例子，如果先使用了第一个物品，那么第二个物品的价值就会随之减小，但如果正确答案是先选第二个物品的后选第一个物品的话，那么得到的结果肯定就是错的，那么我们该如何选取物品呢？先将例子种式子列出来

ans1 = a1-b1*(p+c1)+a2-b2*(p+c1+c2)

ans2 = a2-b2*(p+c2)+a1-b1*(p+c1+c2)

令ans1 > an2 可以得到 b2*c1 < b1*c2，所以排在前面的物品一定要满足b[i+1]*c[i] < b[i] * c[i+1]。

那么就以此为根据进行排序，排序后就按普通的01背包来做即可得出答案。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 100000+10;

struct Food{
    int a, b, c;
    bool operator < (Food a) const { return a.b*c < b*a.c; }
}food[50+10];
int t, n;
ll ans, dp[maxn]; //不用long long的话数据一大就会出错...

int main() {
    cin >> t >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++ ) cin >> food[i].a;
    for(int i = 1; i <= n; i++ ) cin >> food[i].b;
    for(int i = 1; i <= n; i++ ) cin >> food[i].c;
    sort(food+1, food+1+n);
    for(int k = 1; k <= n; k++) {
        ll a = food[k].a, b = food[k].b, c = food[k].c; //不用long long的话数据一大就会出错...
        for(int i = t; i >= c; i--) {
            dp[i] = max(dp[i], dp[i-c] + a-b*i);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= t; i++) ans = max(ans, dp[i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}