动态规划——01背包问题

01背包问题

背包问题是著名的NP完全问题，在实际生活中有广泛的应用。01背包是背包问题中的一种，也是较简单的一种，利用动态规划的思想可以寻求01背包的解。

问题描述

设有n个物品，他们具有各自的重量w和价值v；给定一个具有一个容量W的背包，求将物品有选择的放入背包中，使得装入的物品的价值之和最大？

01背包：物品是完整个体，只存在放或不放两种状态，不能放入一部分。

分析设计

动态规划求解问题需要找到可分解的大问题，将问题不断划分为子问题就可以求解，通过一个二维数组构成的表的形式记录子问题，最终大问题的解也可以求解出来。

01背包问题中的子问题是什么？

• 更少的物品：当只有0件物品时，答案就很明显了，不用放；
• 更小的背包：当背包的容量为0时，答案就很明显了，放不了。

因此构建二维数组$K(n,W)$，其中$K(i,j)$表示：当前背包容量为j，物品有前i个可以放，此时的背包问题的。

只要我们能找到一个递推关系，能使我们从$K(0,0)$算到$K(n,W)$即可，$K(n,W)$就是整个大问题的解。

对于求$K(i,j)$，当前商品存在了两种可能：

• 新的物品i加进来，背包放不下，即第i件物品在背包容量为k的情况下不放入背包——$K(i,j)=K(i-1,j)$；
• 新的物品i加进来，背包能放下，但装了也不一定能达到更优的值，还是需要选择第i件物品装与不装——K(i,j)=max[K(i−1,j),K(i−1,j−wi)+vi]K(i,j)=max[K(i-1,j),K(i-1,j-w_i)+v_i]