分治法——k小元素问题

求第k小元素问题

k小元素问题是利用分治法进行求解的经典问题之一。

问题描述

已知一个长度为n的数组，返回数组中的第k小的元素。
有些问题中求解的是第k大元素，方法类似。

分析设计

要想找出第k小的元素，我们首先想到的方法肯定是先将数组进行排序，返回第k个元素即可，然而利用排序的方法求解时间复杂度至少为O(nlogn)，是否存在一种算法使得时间复杂度为O(n)？

分治法

当数组长度，即问题规模很大时，分治法是一种很好的算法解决该问题。当问题规模达到一定的阈值时，分治法就具有较高的效率。在求第k小元素中，该阈值为44，即数组长度超过44时，采用分治法会获得较高小效率。
（在实际编程测试中，由于测试数据较小，我采用的阈值为5。）

利用分治法求解的基本思路为：

1. 当问题规模小于阈值时，直接采用排序算法返回结果。（我使用的是归并排序。）
2. 当问题规模大于阈值时，我们将n个元素以5个一组，划分为n/5组（剩余元素一组，不会有影响），分别排序找出中位数，将所有中位数放入一个数组中，重复第2步，最终得到整个数组的中位数m。（其中的数学原理不再赘述。）
3. 将整个数组分为3个部分：a₁，a₂，a₃，分别代表小于、等于、大于m的元素。
4. 存在三种情况：
   (1). 若a₁的元素个数大于等于k，则第k小元素在 a₁中，在a₁中递归查找第k小元素；
   (2). 若a₁、a₂的元素个数之和大于等于k，则中位数m即为第k小元素，返回m；
   (3). 否则，第k小元素在a₃中，在a₃中递归查找第(k - (a₁.length + a₂.length))小元素。

源代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//归并排序
void merge(int a[], int start1, int end1, int start2, int end2) {
   
   
	int i = start1, j = start2;
	int n = (end1 - start1 + 1) + (end2 - start2 + 1);
	vector<int> temp(n);
	int k = 0;
	while (i <= end1 && j <= end2) {
   
   
		if (a[i] < a[j]