动态规划——最优二叉检索树问题

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#算法 #动态规划

本文探讨了如何使用动态规划解决最优二叉检索树问题，以降低检索的平均代价。通过分析设计，阐述了如何选择合适的根节点以最小化树的高度，并介绍了动态规划的子结构特征。此外，文章提供了源代码实现并展示了运行结果。

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最优二叉检索树问题

二叉检索树是二叉树当中经典的应用之一，广泛应用于实际生活的检索当中。如何构建一棵二叉树使得检索时的平均代价最低即构建最优二叉检索树，是一个问题。通过动态规划的思想可以对其进行解决。

问题描述

给定n个结点，构造一棵二叉检索树，使得检索的代价最低，即最优二叉检索树。

分析设计

二叉检索树的原理、特点、概念及代价在这里不再论述和证明，默认为已知。

要想使二叉检索树的检索代价最低，就是要使二叉树的**高度最小化。**因此我们就要选择合适的节点作为根节点。

利用动态规划的思想解决这个问题，我们首先要找到能划分的子问题，即节点减少时的二叉检索树。因此最优二叉检索树一定具有最优子结构的特征，去除根节点的剩下的部分任然是最优二叉检索树。

设C(i,j)C(i,j)C(i,j)表示包含i…j节点的数的搜索代价，设这棵树的根节点为r，对应的左右子树分别是 i…r-1 和 r+1…j，它们对应的叶子分别为 i-1…dr-1和 r…j。树就构造完了，分为两种情况

  1. 只有一个叶子组成的子树 j=i-1， 只有i-1， 那么C(i,j)=qi−1C(i,j)= q_i-1C(i,j)=qi​−1 这个子树为1个叶节点 不再划分左右子树；
  2. 子树还包含关键字 即继续划分左右子树 i≤ji\leq ji≤j。那么C(i,j)=min[C(i,r−1)+C(r+1,j)+w(i,j)]C(i ,j)= min[C(i, r-1) + C(r+1,j) + w(i,j) ]C(i,j)=min[C(i,r−
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算法导论之动态规划：最优二叉搜索树
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最优二叉搜索树：给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<k1,k2……,kn>(k1<k2<k3……<kn)，用这些关键字构建一颗二叉搜索树。对于每个关键字ki，都有一个概率pi表示其搜索频率。 有些要搜索的值可能不在K中，因此我们还有n+1个“伪关键字”d0,d1……dn表示不在K中的值。d0表示所有小于k1的值，dn表示所有大于kn的值，对已i=1,2……,n-1，伪关键字di表示所有在ki和k(i+1)之间的值。同样对于每个伪关键字di也有一个概率qi表示对应的搜索频率。
动态规划之最优二叉搜索树
solar一抹阳光的专栏
06-09 2325
在看这张之前，最好看看我写的动态规划详解，里面都是讲理论基础，我下面的分析都是在此基础上进展的。
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算法设计与分析-最优二分检索树
动态规划算法之最优二叉搜索树详细解读（附带Java代码解读)
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动态规划--最优二叉搜索树
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动态规划：最优二分检索树
Enoch
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02-23
这个程序可实现最优二分检索树的构造，绘制和检索，请在Turboc 2.0下运行。
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