2.5. 连续时间鞅-半鞅

本文介绍了连续时间下的半鞅概念,包括Doob分解,即任何连续下鞅可以分解为一个连续鞅与一个连续适应增过程的和。同时阐述了半鞅的定义,即半鞅可表示为局部鞅与适应有限变差过程的和,这一分解是唯一的。最后提到了半鞅的交互变差性质。

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半鞅

1. 连续下鞅的Doob分解

连续下鞅的Doob分解 任何一个连续下鞅都可分解为一个鞅与一个增过程之和.

证明:在离散时间情形, Doob分解告诉我们, 任何一个下鞅都可分解为一个鞅与一 个增过程之和. 连续时间时这个结果还成立吗? 在加了一些技术性限制之后, 这个 结果仍然是成立的, 不过证明要困难得多. 这个证明是由P.-A. Meyer完成的, 因 此这个分解称为Doob-Meyer分解. 不过, 在Doob的书中, 它被称为Meyer分解; 而 在Meyer的书中, 它被称为Doob分解.
我们不介绍这个证明了. 总之, 以后我们可以认为, 一个连续下鞅就是这样一 个过程 X X X

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