3. Matérn协方差模型与随机偏微分方程

Matérn协方差模型的高斯场：前文提到高斯马尔可夫随机场替换高斯场依赖于两个假设，在 ${\mathbb{R}}^d$ 中具有 Matérn 协方差函数的某些高斯场 (GF) 类型可以满足这些要求（它的GMRF表示是显式的），而且它们涵盖了空间统计学中最重要和最常用的协方差模型；

Matérn协方差模型与随机偏微分方程：Matérn协方差模型对应的高斯马尔可夫随机场 （GMRF）可以通过使用某种随机偏微分方程（SPDE）明确构造。随机偏微分方程的解是具有 Matérn 协方差函数的由高斯白噪声驱动的高斯场（GF）。其中，解是一个基函数表示，包含分段线性基函数和由 “域的一般三角剖分” 确定的具有马尔可夫依赖性的高斯权重。

上述结论的扩展：颇为惊人的是，扩展上面的基本结果似乎打开了新的大门和机会，并为相当困难的建模问题提供了相对简单的答案。特别是，

• 我们将展示这种方法如何扩展到流形上的Matérn场、非平稳场和具有振荡协方差函数的场。
• 并进一步讨论它与Sampson和Guttorp（1992）提出的非各向同性模型的非平稳协方差的变形方法的联系，
• 以及我们的方法如何自然地扩展到不可分离的时空模型。

对于这些扩展，本文主要任务，即 使用高斯场GF进行建模并使用高斯马尔可夫随机场GMRF表示进行计算 依然有效，因为GMRF表示仍然可以显式地使用。一个重要的观察是，所产生的建模策略不需要构建协方差函数的显式公式，而是通过SPDE规范隐式地定义它们。

本文我们主要讨论Matérn协方差与特定SPDE之间的关系，并展示基于这种关系显式构造GMRF精度矩阵的两个主要结果。

1. Matérn协方差与其SPDE

这部分将介绍Matérn协方差模型并讨论其SPDE的表示。

我们将给出Matérn场（具有Matérn协方差的高斯场）在规则格子上的GMRF表示的明确结果，并非正式地总结主要结果。

1.1. Matérn 协方差函数

令 $\Vert \cdot \Vert$ 表示 ${\mathbb{R}}^d$ 中的Euclidean 距离。两个位置$\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^d$ 的Matérn 协方差函数定义为：
$$(1)r(\mathbf{u},\mathbf{v})=\frac{{\sigma }^2}{2^{\nu -1}\Gamma (\nu )}(\kappa \Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert {)}^{\nu }{K}_{\nu }(\kappa \Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert )$$这里， $K_{\nu }$ 是第二类和阶数 $\nu >0$ 的修正贝塞尔函数 $K_{\nu }(z)={\int }_0^{\infty }{e}^{-z\cosh (t)}\cosh (\nu t)dt$。$\kappa >0$ 是一个缩放参数（调整协方差函数的空间尺度，改变 $\kappa$ 的值，可以控制协方差函数的空间范围）， ${\sigma }^2$ 是边际方差（表示过程的整体波动程度）
$${\sigma }^2=\frac{\Gamma (\nu )}{\Gamma (\nu +d/2)(4\pi {)}^{d/2}{\kappa }^{2\nu }}.$$

• $\nu$的整数值决定了基础过程的均方可微性，均方可微性描述了过程的平滑程度，平滑度越高，过程的预测性能越好。然而因为在典型应用中它很难被识别， $\nu$ 通常是固定的。
• 缩放参数 $\kappa$ 更自然的解释是作为范围参数 $\rho$（空间过程中的相关性衰减的距离）：表示$x(u)$ 和 $x(v)$ 近乎独立情形下的欧几里得距离，即若距离小于$\rho$，两个点之间的相关性较高；距离大于$\rho$，两个点之间的相关性非常低，可以认为几乎没有相关性。
• 由于缺乏简单的关系，我们将在本文中使用经验得出的定义 $\rho =\sqrt{8\nu }/\kappa$ ，这对应于对所有 $\nu$，当距离$\Vert \mathbf{v}-\mathbf{u}\Vert$接近于 $\rho$ 时，由$r(\mathbf{u},\mathbf{v})$计算可得相关性接近 0.1 。

1.2. Matérn场对应的随机偏微分方程

Matérn协方差函数自然地出现在各种科学领域，但我们将要利用的重要关系是，

定义：具有Matérn协方差的高斯场 (GF) $x(\mathbf{u})$ 是如下线性分数SPDE的解，
$$(2){\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{\alpha /2}x(\mathbf{u})=\mathcal{W}(\mathbf{u}),\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^d,\alpha =\nu +d/2,\kappa >0,\nu >0,$$其中${\left({\kappa }^2-\Delta \right)}^{\alpha /2}$是一个伪微分算子，我们将在方程(4)中通过其谱性质来定义。创新过程 𝑊是具有单位方差的空间高斯白噪声，Δ 是拉普拉斯算子，$\Delta ={\sum }_{i=1}^d\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$.
.
我们将在接下来称方程 (2) 的任何解为Matérn场。

• 当 $\kappa \to 0$ 或 $\nu \to 0$ 时，SPDE (2) 的极限解并不具有Matérn协方差函数，
• 当 $\kappa =0$ 或 $\nu =0$ 时，SPDE仍然有解，这些解是良定义的随机测度。我们将在附录 C. 3 中进一步讨论这个问题。

SPDE有一个隐含的假设是适当的边界条件，因为对于 $\alpha \ge$