旋转和镜像的关系(E(3) SE(3), SO(3))

旋转矩阵行列式与 旋转是否包含镜像的关系。
在E(3)三维空间中，旋转矩阵的行列式可以用来判断该旋转是否包含镜像变换。

• 行列式为正：

表示纯旋转，不包含镜像 。
旋转矩阵保持向量的长度和角度不变，只是改变向量的方向。

• 行列式为负：

表示旋转包含镜像。
旋转矩阵不仅改变了向量的方向，还改变了向量的朝向，相当于对旋转后的向量进行了镜像翻转。

SO(3) 或者 SE(3) 就是只包含旋转，不含反射（镜像） 的群

二维空间示例：

假设我们选择一个旋转角度为 45 度的旋转矩阵，其行列式为正：

R = [[sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]]
对向量 (0,1) 进行旋转：

R * [[0], [1]] = [[-sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2]]
可以看到，向量 (0,1) 被旋转到 (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)，这是一个纯旋转，不包含镜像。

如果我们选择一个包含镜像的旋转矩阵，例如关于 x 轴的镜像加上 45 度旋转，其行列式为负：

M = [[sqrt(2)/2, sqrt(2)/2], [sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2]]
对向量 (0,1) 进行变换：

M * [[0], [1]] = [[sqrt(2)/2], [-sqrt(2)/2]]
可以看到，向量 (0,1) 被变换到 (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)，这是一个包含镜像的旋转。

在纯旋转情况下，向量 (0,1) 被旋转到 (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)；
而在包含镜像的旋转情况下，向量 (0,1) 被变换到 (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)。