Jordan分解定理

$f$是$[a,b]$上的函数，$f$是有界变差函数当且仅当$f$可以表示为$[a,b]$上两个增函数之差.

 

证明：$\Leftarrow$:根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.5，可知$[a,b]$上的两个增函数都是$[a,b]$上的有界变差函数.而且，同一个闭区间上两个有界变差函数的和仍然是有界变差函数，而且，闭区间上的有界变差函数乘以一个常数之后仍然是有界变差函数.因此得证(为什么?).

 

$\Rightarrow:$关键是用到这条式子:$$f(x)=D(x)-(D(x)-f(x)).$$

其中$D(x)$是函数$f$在区间$[a,x]$上的全变差,其中$x\in [a,b]$.易得$D(x)-f(x)$是关于$x$的增函数(根据的是数学分析_Tom M.Apostol_定理6.7).且$D(x)$也是关于$x$的增函数.因此我们就把$[a,b]$上的$f$分解成了两个递增函数的差.

注:Jordan分解定理有鲜明的物理意义.以布朗运动为例,$D(x)$可以看作水中的小颗粒运动的路程,而$f(x)$可以看作小颗粒运动的位移的大小,$x$可以看做时间变量.显然$D(x)$和$D(x)-f(x)$都是递增的.

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