18、理想格与环上带误差学习的研究进展

理想格与环上带误差学习的研究进展

1. 嵌入方式的选择

在研究理想格和环上带误差学习（ring - LWE）时，嵌入方式的选择至关重要。常见的嵌入方式有系数嵌入和典范嵌入，不同的嵌入方式会带来不同的效果。

1.1 嵌入的变形情况

不同的嵌入方式会引入一定的变形。不过，在很多情况下这种变形较小。例如，在环 (Z[x]/ \langle x^n + 1\rangle)（其中 (n) 是 2 的幂）中，变换甚至是等距变换（即缩放旋转）。在这种情况下，格问题在两种嵌入方式下本质上是等价的。

1.2 典范嵌入的优势

我们认为典范嵌入是研究理想格的“正确”概念，原因主要有以下几点：
- 运算的几何解释简单 ：与系数嵌入不同，在典范嵌入下，环元素的加法和乘法只是逐坐标进行的。这使得这两种运算有简单的几何解释，能得到紧密的边界，并且像高斯分布这样的概率分布在与固定元素相乘时表现良好。而在系数嵌入下理解乘法的行为，之前的工作需要引入像扩张因子这样的概念，它虽然能隐式衡量系数嵌入和典范嵌入之间的变形，但对分析概率分布帮助不大。
- 变形情况差异 ：对于很多环，两种嵌入方式近乎等距，但在许多其他感兴趣的环中，变形可能相当大，在某些分圆多项式环中甚至是维度的超多项式。这也解释了为什么我们能为所有这些分圆环证明紧密的硬度结果，而之前的工作大多局限于 (Z[x]/ \langle x^n + 1\rangle)（(n) 是 2 的幂）等少数情况。
- 在自同构下表现良好 ：典范嵌入在我们用于环 - LWE 的搜索到决策