3、理想格与环上带误差学习问题解析

理想格与环上带误差学习问题解析

在数学和密码学领域，理想格与环上带误差学习（Ring - LWE）问题有着重要的地位。本文将深入探讨这些概念，包括相关的背景知识、问题定义以及主要的归约过程。

1. 基础空间与格的相关概念

首先，我们来看基础空间 (H)。它与 (R^n) 作为内积空间是同构的，这可以通过一组正交基 ({h_i} {i\in[n]}) 来体现。对于 (j\in[n])，定义 (e_j\in C^n) 为第 (j) 个（复）坐标为 1，其余为 0 的向量。具体来说：
- 当 (j\in[s_1]) 时，基向量 (h_j = e_j\in C^n)；
- 当 (s_1 < j\leq s_1 + s_2) 时，(h_j=\frac{1}{\sqrt{2}}(e_j + e {j + s_2})) 且 (h_{j + s_2}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(e_j - e_{j + s_2}))。

同时，(H) 上装备了从 (C^n) 诱导的 (\ell_p) 范数。对于任意 (p\in[1, \infty])，这个范数与从和 (R^n) 同构关系诱导的 (\ell_p) 范数相差一个 (\sqrt{2}) 的因子，而对于 (\ell_2) 范数，二者相等。这种（近似）等价性使得我们可以在当前设定下使用已知的格的定义和结果。

接下来是格的相关内容：
- 格的定义 ：格被定义为 (H) 的离散加法子群，这里我们主要关注满秩格，它由一组 (n) 个线性无关的基向量 (B = {b_1, \ldots, b_n}\subset H) 的所有