5、整数上的全同态加密方案解析

整数上的全同态加密方案解析

1. 引言

在加密领域，人们一直在寻找简单且安全的加密方案。像凯撒密码虽简单但不安全，传统的基于模幂运算的公钥加密方案虽安全，可模幂运算并非简单操作。如果重新探索，有一种简单的对称加密方案值得考虑：
- 密钥生成（KeyGen） ：密钥是一个奇数整数 (p)，从区间 ([2^{\eta - 1}, 2^{\eta})) 中选取。
- 加密（Encrypt） ：对于要加密的比特 (m \in {0, 1})，密文 (c = pq + 2r + m)，其中整数 (q) 和 (r) 从规定区间随机选取，且 (|2r| < p/2)。
- 解密（Decrypt） ：输出 ((c \bmod p) \bmod 2)。

当噪声 (r) 远小于密钥 (p) 时，该方案对浅算术电路具有加法和乘法同态性。借助 Gentry 的技术，可将其转化为全同态加密方案。而且，通过合理选择参数（如 (r \approx 2\sqrt{\eta}) 和 (q \approx 2^{\eta^3})），该方案可能具备安全性。

将此对称方案转化为公钥方案也很容易，公钥由多个“零的加密”组成，即 (x_i = q_i \cdot p + 2r_i)，加密比特 (m) 时，密文为 (m) 加上 (x_i) 的子集和。该方案的安全性归结为近似整数最大公约数问题，即从 (x_i) 恢复 (p) 是困难的。

此方案与 Regev 的第一个加密方案类似，但为获得同态性质，本方案的参数选择更激进，且本方案的密钥 (p) 是整数，而 Regev