13、无人机系统建模与仿真：从理论到实践

无人机系统建模与仿真：从理论到实践

1. 旋转表示方法

在描述飞机的旋转时，旋转矩阵是一种常用的工具。然而，基于欧拉角的旋转矩阵存在一个问题，即当发生万向节锁时，可能会错误解读飞机的方向。万向节锁是指三个旋转轴中至少有两个轴对齐的情况，此时惯性测量单元（IMUs）和机械系统无法合理处理这种对齐，导致姿态参考系统无法提供可用数据。

为了克服这个问题，可以使用四元数。四元数是一种基于四参数模型的表示方法，它可以描述物体的方向而不会出现对齐问题。以下是四元数的相关公式：
- 四元数的定义：$Q = {h, e}$
- 标量部分：$h = \cos\frac{q}{2}$
- 向量部分：$e = \cos\frac{q}{2}r = [e_x, e_y, e_z]^T$
- 单位关系：$h^2 + e_x^2 + e_y^2 + e_z^2 = 1$

四元数的旋转矩阵可以通过以下公式计算：
$R(h, e) =
\begin{bmatrix}
2(h^2 + e_x^2) - 1 & 2(e_xe_y - he_z) & 2(e_xe_z + he_y) \
2(e_xe_y - he_z) & 2(h^2 + e_y^2) - 1 & 2(e_ye_z - he_x) \
2(e_xe_z - he_y) & 2(e_ye_z - he_x) & 2(h^2 + e_x^2) - 1
\end{bmatrix}$

此外，还可以通过旋转矩阵反推四元数的$h$和$e$：
$R =
\begin{bmatr