9、递归滤波器与秩值滤波：原理、特性与应用

递归滤波器与秩值滤波：原理、特性与应用

1. 递归滤波器简介

卷积操作通常需要大量运算，因此人们思考能否将已卷积的相邻灰度值纳入下一个像素的卷积中，以减少运算量。递归滤波器便应运而生，它能以更少的计算量和更高的灵活性进行卷积，但理解和处理起来较为困难，尤其是在多维情况下。

以最简单的一维递归滤波器为例，其一般形式为：
[g’ n = \alpha g’ {n - 1} + (1 - \alpha)g_n]
该滤波器从先前计算的值中取 (1 - \alpha) 的比例，从当前像素中取 (\alpha) 的比例。与非递归滤波器不同，递归滤波器具有方向性，例如在上述例子中是从左到右。对于时间序列，这种方向性是自然的，因为信号的当前状态仅依赖于先前的值，这类仅依赖信号先前值的滤波器被称为因果滤波器。然而，对于空间数据，不存在天然的方向，因此需要构建具有奇偶对称性的滤波器以满足图像处理的需求。

递归滤波器的点扩散函数不再等同于滤波器掩码，需要进行计算。通过对离散 delta 函数 (\delta_n) 应用上述递归公式，可以得到滤波器的点扩散函数或脉冲响应：
[\delta_n = \begin{cases}
1, & n = 0 \
0, & n \neq 0
\end{cases}]
递归应用公式可得：
[g’_{-1} = 0]
[g’_0 = 1 - \alpha]
[g’_1 = (1 - \alpha)\alpha]
[\cdots]
[g’_n = (1 - \alpha)\alpha^n]

递归滤波